微积分

领域数学所谓微积分是研究过程或系统的变化。在科学中，许多量随着我们的处理而变化。钢坯从熔化的金属中倒入钢坯的那一刻起，钢坯中的热量就开始减弱。培养物中的细菌数量每隔几分之一秒就会发生明显的变化。同样，当行星沿着围绕太阳的轨道加速时，它在空间中的运动方向也是如此。

在这种情况下，我们可能想知道变化的速率。我们可能还想知道速率，作为计算在一定空间或时间间隔内变化量的基础。解决这些问题的方法决定了曲线或曲面所包含的面积或体积——这通常是无法用算术或代数来计算的。

为处理这类问题而设计的数学方法构成了微积分。两位数学家，先生艾萨克·牛顿英格兰和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨他在17世纪独立发展了微积分。这个名字和“计算”这个词一样，都来自拉丁语，意思是“鹅卵石”，源于古代用鹅卵石作为算术题的计数器的习俗。一个简单的例子将说明微积分中使用的一些基本概念和术语。

体积的公式V一个球的半径r是V=⁴/_3.πr^3.．这个公式给出了之间的确定关系V而且r因为，对于任意值r的值。V是确定的。例如，如果r= 3英寸V= 36π立方英寸。因此，的价值V可能被认为是依赖于r。为了表达这个想法，我们说V是一个函数r。

在公式中，r而且V都是变量，因为每个变量可能有不同的值。自由赋值的变量称为自变量;一个变量的值由另一个变量的值决定，这个变量就是因变量。

如果已知一个表示变量之间关系的公式，就把它称为函数。函数关系不需要用代数公式来给出。它可以由对应值的表格或图形表示。

一个球的体积以半径表示的事实是⁴/_3.πr^3.可以用函数符号表示为V=f（r)．一般来说，这种说法y是一个函数x缩写为y=f（x)．“f代表定义关系的术语。因此,自V=f（r),V＝⁴/_3.πr^3.，我们可以使用f（r)与⁴/_3.πr^3.．

的符号y=f（x)可以方便地用来表示的值y要考虑的是对应于值的那些x。例如，如果y=x²- 5x我们可以写成+ 6y=f（x) =x²- 5x+ 6。

如果我们想求的值y对应于x= 2，我们可以替换x由2。然后我们有y=f(2) = 4 - 10 + 6 = 0。如果我们想求一个半径为3英寸的球体的体积，我们用替换r公式中的3V=f（r) =⁴/_3.πr^3.并获得V=f(3) =⁴/_3.π•3^3.，或36π立方英寸。

函数也可以用图表示。所使用的坐标系如图1所示。

设X 'X为水平方向为正向右的数轴。设Y 'Y是一条垂直于X 'X的数轴，所以交点O是两条直线的原点。设Y 'Y的正方向为向上。直线X 'X被称为x-轴和直线Y 'Yy设在。这两条线在一起就是坐标轴。

设P是平面上的任意点。从P点开始垂直于x设在。它切断了x-轴在点M处，它对应于数字x,也从P延伸出一条垂直于的横坐标y设在。它切断了y-轴在N点，它对应于数字y,称为p的纵坐标x而且y是P的直角坐标，表示P有坐标x而且y,写P (x, y)或点(x, y)．

当一个函数y=f（x的代数公式给出f（x)，我们必须首先根据公式构造一个由数对组成的表，平面上的点可以从中绘制出来。我们选择一个方便的成对数，并画出相应的点。然后通过它们画出的曲线就是函数的图形。该方法可用图2来说明x²- 5x+ 7。如果我们说y=f（x) = 2x²- 5x+ 7，我们找到了不同的值x函数的对应值如下所示。

我们把这些点画成一条曲线。将它们按数值递增的顺序连接起来，我们就得到了如图2所示的图形。

在平面几何中，问题是通过构造和几何推理来解决的。然而，如上所述的坐标系使得使用通常比几何推理更容易的代数过程来解决几何问题成为可能。因此代数和几何是统一的。这门学科叫做解析几何。

在解析几何中，某些几何概念，如“点”、“距离”、“线”、“角”等，以及几何图形，如曲线，都是用代数符号、表达式和方程来表示的。这将创建一个几何代数字典。以下是来自这样一本词典的一些术语:

函数在代数和解析几何等领域都有研究。数学的这些划分不能为许多涉及变化率的问题提供令人满意的解决方案。一些问题是:描述汽车速度或热物体冷却的最佳方法是什么?真空管中极板电流的变化如何依赖于栅极电压的变化?在这类问题中，必须计算变化率。这样做的方法构成了数学中的微分学。

要解决这个问题，首先要找到平均变化率。例如，假设一辆汽车在中午和两点开始行驶点距离起点50英里。五点点它已经走了140英里。从两点点到五点点它行驶了140到50英里，也就是90英里。因为它在三个小时内完成了这个过程，所以它的平均速度是⁹⁰/_3.也就是每小时30英里。

的距离年代从起点被视为时间的函数t,由符号表示的年代=f（t)．我们发现f(2) = 50和f(5) = 140。的增量t是Δt= 5 - 2 = 3，的增量年代是Δ年代=f(2 + Δt) - - -f(2) =f(5) -f(2) = 140 - 50 = 90。

然后:

平均变化率一般可以这样定义:一个函数的平均变化率y=f（x)在从x来x+Δx的增量之比y而且x．在符号:

平均变化率的几何解释可以在函数图中给出。这个函数y=f（x)如图3所示。

增量Δx由段P ' q ' = PR给出。对应的增量Δy=Δf（x)由线段RQ给出。因此，区间P ' q '的平均变化率为

当函数由公式给出时，平均变化率很容易计算。例如，计算函数的平均变化率y=f（x) = 3x²- 2，如果x从1到3的变化:

实际生活中的许多速率问题，仅仅通过计算函数的平均变化率，并不能很好地解决。如果发生交通事故，司机不能证明在事故发生前两小时内以平均每小时20英里的速度行驶，就可以推卸责任。重要的事实是他在事故发生的瞬间的“瞬时”速度，特别是当速度碰巧发生变化时。

因此，需要确定瞬时速率的含义。定义平均利率的方法并不适用于瞬时利率。事故发生的瞬间没有时间间隔，汽车也没有相应的行驶距离。定义可以通过从每一边“爬上去”来达成;也就是说，如果对行驶的时间间隔和距离的定义可以越来越精确，并且假设汽车可以继续行驶，对“之后”也可以做同样的事情，那么就会有一组值将“之前”和“之后”的所有事情分开。这些值可以称为极限。它将在事故发生时提供所需的瞬时速率。

这个“限制值集”可以在下面的图4中用几何术语加以说明。

在函数中，点P是由图给出的₁P₂P_3.，等P的右侧都被选中。它们建立了割线PP₁页₂页_3.．点P '₁P '₂P '_3.，以此类推，在左边建立割线PP '₁页的₂页的_3.．

段QQ函数的平均变化率₁例如，它等于sec PP的斜率₁．其他割线定义了其他的平均速率。然而，该图显示了一条直线PT，它将与曲线P右侧交会的割线与与曲线左侧交会的割线分开。这条直线叫做曲线在P点的切线。

当定义点靠近P时，P两侧的正割斜率接近切线斜率。因此，当定义点接近P时，P处的正割斜率就是经过P处的正割斜率的极限。如果正割斜率定义P两侧的平均变化率，那么切线的斜率一定是P点的瞬时速率，因此P点的瞬时变化率等于P点的切线斜率。求切线的斜率，取图5中切线上的任意一点T。

如果从P到T，坐标的增量可以表示为dx而且dy。斜率(角)θ)的切线PT，因此为:

但前文已指出，点P处的瞬时变化率，可表示为米,等于切线PT的斜率，我们就得到了m:

由于瞬时变化率被定义为区间Δ的平均变化率的极限(lim)x,作为Δx趋于0，我们也有

因此，函数的导数(或瞬时变化率)y=f（x)在一个特定的点

为了说明如何求由公式定义的函数的导数，考虑函数

y=f（x) = 3x²- 5

求这个函数在某一点的导数(例如，x= 2)，首先求区间内的平均变化率x= 2到x= 2 + Δx．可以这样做:

这样的导数计算适用于的任何幂函数x,也就是x对于任何指数，因此，xⁿ．求解问题的公式xⁿ如下(连同其他重要衍生品):

积分的一个简单例子是计算曲线的一部分下的面积y=f（x)．在图6中，我们想要曲线本身的线段AB，基段A ' b，或线段A ' b定义的面积x-轴和边界线(A 'A和B 'B)。

将基底分成长度为Δ的段x在这些段上竖立高为P的矩形₁问₁P₂问₂等等。每个矩形的面积将是它的基底Δx乘以高度。这些面积的和是

i + ii +…= (p₁问₁Δx + (P₂问₂) Δx +…(1)

= f (x₁Δx + f(x₂•Δx +……(2)

这个和显然给出了面积ABB ' a '的近似值。通过取足够多的段(矩形)，可以以任意所需的精度找到该区域。上面的表达式(2)可以缩写为Sf（x)Δx。

这里的符号S表示一系列相似的项-f（x₁)•Δx，f（x₂)•Δx，等等都将被添加。为了表明我们可以通过Δ精确地找到该区域x足够小，我们就用这个符号dx而不是Δx,和

为了表示以直线为界的区域x=一个而且x=b是算出来的，我们写

这个方程的右手项叫做定积分f（x）dx在极限之间一个而且b(或者可以说“from”一个来b”)。

从这个阶段开始，我们必须找到一种方法，以代数的形式，得到定积分的确切值。可以计算此值，因为如果f（x)在积分中被认为是某个其他函数的导数，该其他函数将提供所需答案的基础。

对于简单的函数，这很容易做到。例如，如果有助于定义所需区域的曲线为y=x²，则积分(部分)为

现在的问题是发现“其他什么功能”会产生x²作为导数。微分的知识告诉我们，“另一个函数”只能是x^3./ 3。(根据幂函数的求导规则，其中n3的导数是3x²/ 3,或x²)。这种推理可以通过使用来“扭转”n对2 3或任何其他指数求积分

应用上述结果的最后一步(使用x^3./ 3x²积分中)是求值

对于定积分，可以通过减去较小的值(atx=一个)从更大的(在x=b)．举个例子，用抛物线y=mx²(图7)。由于它切割坐标轴(x而且y)在它们的原点(O)处，的值一个可以认为是0，我们只需要处理的值x=b．

面积A可以通过代入立即得到b为x在部分解中x^3./3得到如下:

在很多问题中f（x）dx是没有限制的。要在整个范围内求值。求值取决于这个事实:两者的导数x²+ 2和x²+ 3等于2x因为任何常数(如2或3)的导数都是0。在使用x时^3./3用于积分x²dx,关于x的常数的可能存在^3./3(一个“在求导中会消失”的常数)可以用x来表示^3./ 3 +C。C叫做积分常数;结果是一个不定积分，因为它的值部分取决于常数的值C可能有。