形而上学和数论

音乐的和谐宇宙

神圣的十分之(前四个数字的和)在毕达哥拉斯学派中特别具有宇宙意义:它神秘的名字，tetraktys(意思大约是“四”)，意味着1 + 2 + 3 + 4 = 10;但它也可以被认为是一个“完美”三角形．”

对数字和比例的推测导致了一种直观的感觉哈耳摩尼亚(“装配在一起”)的kosmos(“事物的秩序”);以及应用的tetraktys到理论音乐（见下文音乐的范围内，揭示了一个隐藏的秩序声音．毕达哥拉斯他可能模糊地提到了“天上的音乐”，似乎只有他一个人能听到;后来的毕达哥拉斯学派似乎认为天体到地球的距离在某种程度上与音乐音程相对应柏拉图式的概念，产生了著名的“球体和谐”的想法。尽管对早期毕达哥拉斯学派来说，数字仍是一种宇宙物质，就像伊奥尼亚人所提出的水或空气一样，他们强调数字比例，和谐、秩序构成这是迈向形而上学的决定性一步形式这是基本的现实。

对立学说

从伊奥尼亚人那里，毕达哥拉斯人采用了宇宙对立的思想，他们——也许是其次——把这种思想应用到他们的数字推测中。最主要的对立是限度与无限;由奇数(3,5,7，…)所代表的极限(或极限)，是一种积极的力量，影响着由偶数所代表的无限中的秩序、和谐和“宇宙”。在宇宙中，各种各样的对立面以某种方式“结合在一起”，就像它们在微观上，在个体和毕达哥拉斯社会中所做的那样。还有一种毕达哥拉斯式的“十种对立表”，亚里士多德也提到过——限制-无限、奇偶、一多、左右、男女、静止-运动、直弯、光明-黑暗、善恶和方-长方形。这张桌子的布置反映了一种二元概念然而，这显然不是学院首创的，也不是所有成员都接受的。

毕达哥拉斯的数字形而上学也反映在它的宇宙学．作为数列及其构造原则的起点，单位(1)本身并不是严格意义上的数;因为，一个数字既可以是偶数，也可以是奇数，而在毕达哥拉斯的观点中，“一”既可以是偶数，也可以是奇数。这矛盾心理同样，也适用于整个宇宙，被认为是一。还有一种宇宙学理论(宇宙起源的理论)，它解释了从有限的奇数和无限的偶数中产生数字和数字-事物的理论，这个理论在学者们未知的阶段最终被纳入其中柏拉图的哲学在他从数学原理推导出感觉现实的学说中。

算术

早期毕达哥拉斯的成就数学是不清楚的，很大程度上是有争议的，因此，以下是一个折衷的意见之间的广泛分歧的学者。

在对奇数和偶数的推测中，早期的毕达哥拉斯学派使用所谓的gnō星期一(“木工广场”)。根据亚里斯多德的描述，用圆点或鹅卵石表示的时针数字，是按照图中所示的方式排列的。如果在单位周围放置一系列奇数，它们总是产生结果广场；因此，数列4,9,16,25，…的成员都是“平方”数。如果以类似的方式描述偶数，则所产生的数字(提供无限变体)表示“长方形”数字，例如系列2,6,12,20，....另一方面，由三个点表示的三角形(如三角形的上半部)tetraktys)可由一系列自然数展开，形成“三角”数6、10(即tetraktys)， 15,21，....这个程序，到目前为止是毕达哥拉斯主导的，也许在柏拉图式的学院，变成了对“多边形”数的推测。

可能地精的平方数很早就与勾股定理(不过，在毕达哥拉斯之前，它可能已经在希腊的实践中使用了)，它认为对于直角三角形来说，斜边上画的正方形的面积等于在它的边上画的正方形的面积之和;在表中，可以很容易地看到，以3,4,5 -三角形为例，在一个正方形上加上一个正方形的表数就会得到一个新的正方形:3²+ 4²= 5²，给出了求两个平方数且其和也是平方数的方法。

5世纪的一些毕达哥拉斯学派似乎被明显的算术异常所迷惑:三角形数和平方数的相互关系;的异常正五边形的性质;一个正方形对角线的长度与其边长是不可公度的。因此，任何由整数组成的分数都不能精确地表示这个比例(由此得到的小数被定义为非理性的）;以及音乐中数学比例的不合理性尺度．这种无理数的发现令人不安，因为它对认为宇宙可以用整数表示的天真观点产生了致命的后果;毕达哥拉斯Hippasus据说他被逐出了兄弟会，据一些消息来源甚至被淹死了，因为他提出了一个不合理的观点。

公元4世纪，毕达哥拉斯学派的数学家在无理数理论方面取得了重大进展，比如-的平方根n（的平方根√n)，n在任何有理数，当时他们开发了一种方法来寻找渐进式逼近的平方根√2通过形成所谓的对角线数。