黎曼假设

黎曼假设,在数论，假设德国数学家Bernhard黎曼关于解决方案的位置黎曼ζ函数，连接到质数定理而且很重要影响对于质数．黎曼在一篇论文中提出了这个假设，“Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”(“关于小于给定量的素数的数目”)，发表在1859年11月版的Monatsberichte der berlin Akademie(《柏林学院月刊评论》)。

的ζ函数定义为无穷级数ζ(年代) = 1 + 2^−年代+ 3^−年代+ 4^−年代+⋯,或者，用更简洁的符号，，在哪里求和(Σ)的条款n从1到∞通过积极的一面整数而且年代大于1的固定正整数。ζ函数是由瑞士数学家首先研究的欧拉在18世纪。(由于这个原因，它有时被称为欧拉ζ函数。对于ζ(1)这个级数就是调和级数，自古以来就知道无限制地增加。，其和为无穷大。)欧拉在1735年证明ζ(2) = π后一举成名²这个问题困扰了那个时代最伟大的数学家，包括瑞士数学家伯努利家族（雅克布，约翰,丹尼尔)．更一般地说，欧拉(1739)发现了偶整数的ζ函数值和伯努利数之间的关系，伯努利数是泰勒级数的扩张x/（e^x−1)。(另请参阅指数函数)。更令人惊奇的是，1737年欧拉发现了一个关于ζ函数的公式，它涉及到对an求和无限包含正整数和包含所有质数的无限乘积的项序列:

黎曼扩展了ζ函数的研究，包括复数x+我y,在那里我＝的平方根√−1，除了线x在复平面上= 1。黎曼知道zeta函数对于所有负偶数- 2，- 4，- 6，…(所谓的平凡零)等于零，并且在严格落在行间的复数的临界带中有无限个零x= 0和x= 1。他还知道所有非平凡零都是关于临界线对称的x＝¹/₂．黎曼推测所有非平凡零点都在临界线上，这个猜想后来被称为黎曼假设。

1914年英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈迪证明了ζ(年代) = 0x＝¹/₂．后来，许多数学家证明了很大一部分解必须在临界线上，尽管经常“证明”所有非平凡解都在临界线上是有缺陷的。计算机也被用来测试解，前10万亿个非平凡解显示在临界线上。

黎曼的证明假设会产生深远的影响数论以及质数的使用密码学．

黎曼假设一直被认为是人类历史上最大的未解问题数学．这是德国数学家提出的对20世纪数学家的一个挑战的10个未解数学问题之一(印刷地址中有23个)大卫希尔伯特1900年8月8日在巴黎举行的第二届国际数学大会上。2000年美国数学家斯蒂芬·斯梅尔用21世纪的一系列重要问题更新了希尔伯特的观点;黎曼假设是第一位的。2000年，它被指定为年问题这是马萨诸塞州剑桥克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute of Cambridge)选出的七个数学问题之一。美国获得特别奖。每个问题的解决方案年问题值100万美元。2008年，美国国防高级研究计划局(美国国防部高级研究计划局)将其列为美国国防部高级研究计划局(DARPA)的数学挑战赛之一，该挑战赛为23个数学问题征求研究建议以获得资助——“数学挑战19:解决黎曼假设”。的圣杯数论。”