代数上层建筑gydF4y2Ba
虽然在许多数学结构方法已经成为著名的gydF4y2Ba学科gydF4y2Ba结构仍更规范的概念,非正式的原则比真正的数学概念独立调查。自然,这个问题迟早会出现如何定义结构以这样一种方式,这个概念可以调查。例如,Noether带来了新的和重要的洞察某些环(代数数字和多项式)之前调查独立的框架下研究它们的底层结构。同样,这是预期的一般超理论结构,或上层建筑,将被证明是卓有成效的学习其他相关的概念。gydF4y2Ba
布尔巴基gydF4y2Ba
尝试开发这样一个超理论gydF4y2Ba进行gydF4y2Ba从1940年代开始。第一个来自一群年轻的法国数学家的共同假名下工作gydF4y2Ba尼古拉斯·布尔巴基gydF4y2Ba。该组织的创始人包括Weil,gydF4y2Ba琼DieudonnegydF4y2Ba,gydF4y2Ba亨利嘉当gydF4y2Ba。在接下来的几十年里,该集团公布一批极具影响力的教科书,gydF4y2Ba元素de数学gydF4y2Ba,覆盖了几个中央数学学科,特别是从结构的角度来看。然而,在某种程度上,布尔巴基的gydF4y2Ba数学gydF4y2Ba结构,所以一般,非正式的方式。正如van der Waerden扩展到所有的代数结构的方法,介绍了施泰尼茨的理论领域,所以布尔巴基的gydF4y2Ba元素gydF4y2Ba将这种方法扩展到一个真正广泛的数学学科。虽然布尔巴基定义一个正式的gydF4y2Ba概念gydF4y2Ba集合的第一本书的结构,他们的概念是相当繁琐,没有进一步追求。gydF4y2Ba
范畴论gydF4y2Ba
第二个尝试开发在形式化的概念结构gydF4y2Ba范畴理论。关于这个主题的第一篇论文发表在了gydF4y2Ba美国gydF4y2Ba1942年由gydF4y2Ba麦克莱恩gydF4y2Ba和gydF4y2Ba撒母耳EilenberggydF4y2Ba。他们的方法背后的理念是,任何特定的数学领域的基本特征(一个类别)可以确定通过专注于其元素之间的相互关系,而不是孤立地看每个元素的行为。例如,组的类别特征的属性gydF4y2Ba同态gydF4y2Ba(组织保留代数之间的映射操作)和比较与射为其他类别,如gydF4y2Ba同胚gydF4y2Ba拓扑空间。Mac上的另一个重要概念和Eilenberg是他们制定的“gydF4y2Ba子gydF4y2Ba”,一个泛化的概念gydF4y2Ba函数gydF4y2Ba使他们能够连接不同的类别。例如,在gydF4y2Ba代数拓扑gydF4y2Ba子拓扑空间与某些群体,这样他们的拓扑属性可以表示为代数性质的团体过程,使强大的代数工具上使用先前棘手的问题。gydF4y2Ba
尽管范畴论没有数学成为一种通用的语言,它成为代数拓扑和标准的制定gydF4y2Ba同源性gydF4y2Ba。范畴理论也导致研究的新方法gydF4y2Ba数学的基础gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba主题理论gydF4y2Ba。这些进一步发展gydF4y2Ba增强gydF4y2Ba通过密集的工作在1956年到1970年之间gydF4y2Ba亚历山大GrothendieckgydF4y2Ba和他的合作者在法国,基于类别使用更一般的概念。gydF4y2Ba
新的挑战和观点gydF4y2Ba
在代数的巨大生产力研究20世纪下半叶排除了任何完成gydF4y2Ba剧情简介gydF4y2Ba。然而,两个主要的问题应该得到一些评论。首先是一个抽象和概括的趋势体现在结构的方法。这一趋势不gydF4y2Ba独家gydF4y2Ba然而,。人员来回移动,一般结构以及学习等古典实体真实和理性的数字。第二个问题是引入新的证明和技术。下面的例子说明。gydF4y2Ba
一个小组gydF4y2BaHgydF4y2Ba一群gydF4y2BaGgydF4y2Ba如果对于每一个元素称为正常组gydF4y2BaggydF4y2Ba在gydF4y2BaGgydF4y2Ba和gydF4y2BahgydF4y2Ba在gydF4y2BaHgydF4y2Ba,gydF4y2BaggydF4y2Ba−1gydF4y2BahgydF4y2BaggydF4y2Ba是一种元素的gydF4y2BaHgydF4y2Ba。一群不正常的子组被称为gydF4y2Ba简单的组gydF4y2Ba。简单的团体的基本组件gydF4y2Ba群理论gydF4y2Ba,从伽罗瓦的时候知道,一般五次被激进分子无法解决的,因为它的伽罗瓦群很简单。然而,一个完整的描述简单的团体仍然高不可攀,直到1963年,两个美国人的一项重大突破,gydF4y2Ba沃尔特·费特gydF4y2Ba和gydF4y2Ba约翰·g·汤姆森,证明了一个古老的英国数学家威廉伯恩赛德的猜想,即非交换有限简单群的顺序总是甚至。他们的gydF4y2Ba证明gydF4y2Ba又长又涉及,但钢筋有限的认为一个完整的分类简单的群体有可能,毕竟,是可能的。任务的完成宣布在1983年由美国数学家gydF4y2Ba丹尼尔·戈伦斯坦,几百个人的贡献超过数千页。虽然这个分类gydF4y2Ba全面的gydF4y2Ba,它是不明确的、系统的,因为简单群出现在各种各样的情况下,在许多形式。因此,似乎没有个人能够吹嘘自己知道所有的细节。这种非常大,gydF4y2Ba集体gydF4y2Ba定理gydF4y2Ba当然是一个新颖的数学现象。gydF4y2Ba
另一个例子涉及问题复杂,涉及计算机的使用证明,甚至制定新的定理。现在gydF4y2Ba初期的gydF4y2Ba在21世纪趋势一定会受到增加的关注。gydF4y2Ba
最后,gydF4y2Ba概率gydF4y2Ba在代数的方法证明,特别是为解决困难,打开群理论中存在的问题,介绍了。这一趋势开始于一系列论文由匈牙利数学家gydF4y2Ba保罗ErdősgydF4y2Ba和保罗·图兰,两人介绍了概率方法在其他数学分支。gydF4y2Ba
狮子座科里gydF4y2Ba