的应用群理论
伽罗瓦理论的出现与多项式的研究直接相关，因此群的概念从经典代数的主流发展而来。然而，它在其他数学中也有重要的应用学科整个19世纪，尤其是几何和数论。
几何
1872年菲利克斯•克莱因他在德国埃尔兰根大学的就职演讲中提出，群论思想可能会被卓有成效地应用于上下文几何。自19世纪初以来，对射影几何获得了新生动力，后来非欧几里得的几何图形被引入并被越来越多地调查。这种几何学的扩散提出了关于它们之间的相互关系和它们与地球的关系的紧迫问题经验世界。Klein建议这些几何图形可以在一个概念上的层次结构．例如，射影几何似乎特别基本，因为它的性质也与欧几里德几何，而后者的主要概念，如长度和角度，在前者中没有意义。
几何层次结构可以用这样的形式来表示，即转换时保持特定几何的最相关属性不变。事实证明，这些转换集合最好理解为形成一个组。克莱因的想法是，几何图形的层次结构可以反映在组的层次结构中，组的属性更容易理解。欧几里得几何中的一个例子说明了基本思想。的集在平面上的旋转有闭包:若旋转我将图形旋转一个角度α，并旋转J由一个角度β，然后旋转我＊J将它旋转一个角度α + β。旋转操作具有明显的结合律，α + (β + γ) = (α + β) + γ。单位元是旋转0度角，而逆角α的旋转角为- α。因此，平面的旋转集合是欧几里得几何的一组不变变换。与其他类型的几何图形相关联的组在某种程度上更复杂，但思想是相同的。
在19世纪八九十年代，克莱因的朋友，挪威人索菲的谎言他承担了对所有可能的几何变换连续群进行分类的艰巨任务，这项任务最终演变成了现代李群和李代数理论。大约在同一时期，法国数学家亨利。庞加莱研究刚体运动的群，这一工作有助于建立群论作为现代几何的主要工具之一。
数论
的概念在19世纪的数论中也开始显著地出现，特别是在高斯的研究中模运算．在这种情况下，他证明了后来在抽象群理论中重新表述的结果，例如(在现代术语中)，在一个循环群(在一个元素上重复群操作生成的所有元素)中，总是存在一个每一阶(元素数量)除以群的阶的子群。
1854年阿瑟·凯莱他是当时最杰出的英国数学家之一，是第一个明确地认识到可以抽象地定义一个群的人——不需要参考其元素的性质，只需要指定定义在这些元素上的运算的性质。凯莱概括了伽罗瓦的思想，取了一组无意义的符号1、α、β、…，并对它们进行了如下表所示的运算。
Cayley只要求运算对定义它的元素是闭的，而他隐含地假设它是结合律，并且每个元素都有一个逆。他正确地推导出了群的一些基本性质，比如群有n元素，然后θn对于每个元素θ = 1。尽管如此，在1854年排列这是一个相当新的群体，Cayley的工作几乎没有直接的影响。