Cardano和三次和四次方程的解

Girolamo Cardano是一个著名的意大利医生,一个狂热的赌徒,多产的作家终生的兴趣数学。他的广泛阅读Ars麦格纳(1545);“好工作”)包含最系统和文艺复兴时代全面的解决三次和四次方程。Cardano的演讲之后的伊斯兰传统解决所有可能情况下的一个实例,然后给几何理由他的程序,基于命题欧几里德几何学的元素。他也跟着伊斯兰传统表达所有的系数为正数,完全和他的演讲修辞,没有真正的象征性的操纵。然而,他扩大了使用符号作为一种缩写说明问题和描述的解决方案。因此,希腊几何角度还是统治了实例,一个方程的解决方案总是一个行段,立方体是多维数据集建立在这样的一段。不过,Cardano可以编写一个三次方程来解决cupp:6reb一个e问u一个l我年代20.(含义:x³+ 6x= 20)和目前的解决方案R。V:cu。R。108年p:10米:R。V:cu。R。108年米:10,意义x=。

因为Cardano拒绝视图负数尽可能系数方程,他不能开发概念一般的三度方程。这意味着他不得不考虑13“不同”三度方程。同样,他认为20个不同的情况下对四级方程,过程后由他的学生多维法拉利。然而,Cardano有时愿意考虑负面的可能性(或“false”)的解决方案。这让他制定一些一般规则,例如,在一个方程有三个实根(甚至包括消极的根),根之和必须除了标志,等于系数的平方项。

尽管他基本接受传统的意见,解决某些问题导致Cardano考虑更激进的想法。例如,他证明了10可分为两部分的产品是40。答案,5 +√√−15和5−√√−15然而,需要使用虚,或复数,也就是说,数字涉及平方根一个负数。此类解决方案使Cardano不安,但他最终接受它,宣称它是“精制是没有用的。”

复数的第一次严重和系统化的治疗必须等待意大利数学家拉斐尔Bombelli,尤其是他未完成的前三卷L 'Algebra(1572)。然而,数的概念的平方是负数了大多数数学家不舒服。,确切地说,在本质上可能有一点负面的存在或想象的数量?因此,接受数字超出了正有理数是缓慢和不情愿。

Viete和正式的方程

法国数学家的工作弗朗索瓦Viete第一个一致,连贯的,系统概念一个代数方程现代意义上的出现。一个主要创新Viete的在artem analyticam绪论(1591);”介绍分析艺术”)使用精心挑选的符号的一种(元音)未知数,另一种(子音)的数量。这不仅允许灵活性和通用性在解决线性和二次方程也缺席所有前任的工作,即明确分析之间的关系的形式解决方案和原始方程的系数的值。Viete认为他的贡献是开发一个“系统化的思维方式”导致一般的解决方案,而不仅仅是一个“的”来解决具体问题。

通过结合现有的使用与他自己的创新显然,Viete制定方程并提供置换规则因素从一个等式的一边到另为了找到解决方案。方程的一个例子是:一个cubus+C普莱诺在一个aequatusDsolido(含义:x³+cx=d)。

注意每一项涉及是一维的,也就是说,取消权力后,其余条件方程的两边是第一动力。因此,在左手边,二维的大小Z普莱诺(正方形)除以一维变量G,留下一个维度。在右边,一个两个三维的和大小(立方)除以两个一维变量的乘积(广场),留下一个维度。因此,Viete没有打破这个重要的希腊传统,把条款必须相同的维度。然而,首次成为可能,在一个方程的框架,或者两边乘以一定的大小。结果是一个新的方程,均匀本身又与原来的不均匀。