古典代数
弗朗索瓦Viete 16世纪的工作结束时,所描述的部分Viete和正式的方程,标志着古典的开始纪律的代数。进一步发展中几个相关的趋势,其中以下值得特别提及:追求高阶方程的系统解决方案,包括近似技术;多项式及其研究的兴起自治数学实体;和采用的增加在其他数学代数的角度学科,如几何,分析,逻辑。在这同一时期,出现了新的数学对象,并最终取代了多项式代数研究的主要焦点。
解析几何
什么被称为的创建解析几何可以归因于两个伟大的17世纪法国思想家:皮埃尔·德·费马和勒奈·笛卡尔。利用代数技术由Viete和开发Girolamo Cardano如前所述,在本文中,费马和笛卡尔解决几何问题一直未解决的时间以来的古典希腊人。之间的有机联系,他们建立了新型代数和几何是一个重大突破,没有的后续的发展数学一般来说,和几何微积分特别是,将是不可想象的。
在他的著名的书La Geometrie(1637),笛卡尔建立之间的相等关系代数操作和几何结构。为了做到这一点,他推出了一个单位长度,作为参考其他长度和所有操作。例如,假设笛卡尔给出一段一个B并被要求找到自己平方根。他会画出直线行DB(看到的),D一个被定义为单位长度。然后他会平分DB在C,画上的半圆直径DB与中心C,最后画的垂直一个来E半圆形。圆的基本性质暗示∠DEB= 90°,反过来意味着∠一个DE=∠一个EB和∠DE一个=∠EB一个。因此,△DE一个类似于△EB一个或者换句话说,比相应的双方是平等的。替换x,1,y为一个B,D一个,一个E分别获得x/y=y/ 1。简化,x=y2,或y的平方根x。因此,在什么似乎是一个普通的古典希腊的应用技术,笛卡尔证明了他所能找到的任何给定的数字的平方根,由一条线段。建筑的关键一步是单位长度的引入D一个。这个看似微不足道的举动,或任何类似的,从来没有做过的,它有巨大的影响什么之后可以通过应用代数几何推理。
笛卡尔也引入了一个符号,让伟大的符号操纵的灵活性。例如,他会写
表示这个代数表达式的立方根。这是一个直接延续(改进)技术和Viete引入的符号。笛卡尔也引入了一个新的想法与真正当他需求明确排除了深远的影响同质性条款中一个equation-although为了方便他试图尽可能坚持同质性。
笛卡尔的程序是基于某些几何位点(直线、圆和圆锥部分)可以为特征的特定类型的方程涉及大小,被送往代表线段。然而,他没有设想同样重要的是,互惠找到对应的曲线的任意代数表达式。笛卡尔是意识到信息curve-such作为其切线的性质和封闭的地区应该是源自其方程,但他没有详细说明。
另一方面,笛卡尔是第一个讨论分别和系统的代数性质多项式方程。这包括他的观察之间的对应程度的一个方程和它的根源,与已知多项式根的分解成线性因子,计算的规则数量的积极的和消极的一个方程的根,和方法获得一个新的方程的根等于给定的方程,虽然增加或减少由给定数量。