希腊和几何表达的极限

的毕达哥拉斯学派和欧几里德

希腊的一个重要里程碑数学发现了吗毕达哥拉斯学派430年左右公元前,并不是所有的长度能较量的,由一个共同的单位可衡量的。这个令人惊讶的事实显然在调查什么似乎是最基本的比几何级之间,即之间的比例,一个正方形的对角线。毕达哥拉斯学派知道单位平方(也就是说,正方形的边有一个长度为1),对角线的长度√√2由于对勾股定理,即正方形的对角线三角形必须等于另两边的平方和(一个²+b²=c²)。两者之间的比例大小从而推导出,1和√√2,相应的混杂特性没有任何两个整体的比例,或计数、数字(1、2、3、…)。这一发现的不可通约的量与基本形而上学毕达哥拉斯主义,声称所有的现实是基于整个数字。

试图处理不可通约的最终导致建立一个创新的概念比例通过Eudoxus尼多斯的(c。400 - 350公元前),这欧几里得保存在他的元素(300 c。公元前)。比例的理论仍然是数学的一个重要组成部分到17世纪,通过允许比率的比较对同样的大小。然而,希腊比例非常不同于现代的平等,没有概念方程可以在此基础上。例如,一个比例可以建立两个之间的比率行段,说一个和B,两个领域之间的比率,是一样的R和年代。希腊人将在严格的国家这语言时尚,因为符号表达式,如晚得多一个:B::R:年代(读、一个是B作为R是年代),未出现在希腊文字。比例使重要的数学结果的理论,但它不可能导致的结果与现代方程推导。因此,从一个:B::R:年代希腊人可以推断出(在现代计算)一个+B:一个−B::R+年代:R−年代以同样的方式,但是他们不能推断一个:R::B:年代。实际上,它甚至没有意义的希腊人说话比线和面积之间因为只有喜欢,或均匀,大小类似。他们的基本需求同质性是严格保存在所有西方数学直到17世纪。

当一些希腊的几何结构,如那些出现在欧几里德元素适当翻译成现代代数语言,他们建立代数恒等式,解二次方程,并产生相关的结果。然而,不仅是符号这种从未使用过的古典希腊但是这样翻译会完全陌生的工作精神。事实上,希腊人不仅缺乏一个抽象的语言但他们甚至缺乏执行通用符号操作来支持这样一个代数方程的概念解释他们的几何结构。

古典希腊人,尤其是如书的VII-XI所示元素,许多单位的集合,因此他们有限的统计数字。负数显然是这张照片,和零甚至不能开始被认为是。事实上,即使是1的状态模棱两可的在某些文本,因为它不是真的构成一个集合规定欧几里德。这样的数值限制,加上希腊数学的强大的几何方向,减缓了发展和全面接受更详细的和灵活的思想在西方。

Diophantus

有些不同,特殊的方向,解决数学问题可以在以后的工作中找到希腊、Diophantus亚历山大的(液体c。广告250),谁开发的原始的方法解决问题,现在回想起来,可能被视为线性或二次方程。然而即使Diophantus,符合基本的希腊概念数学,认为只有积极理性的解决方案;他叫一个问题“荒谬”唯一的解决方案是负数。Diophantus使用特殊方法解决具体问题方便的问题,但他没有提供通用的解决方案。他解决的问题有时有超过一个(在某些情况下甚至无穷多)的解决方案,但他总是在寻找第一个后停止。在涉及二次方程问题,他从不认为这类方程可能有两个解决方案。

另一方面,Diophantus是第一个引入某种系统象征意义为多项式方程。一个多项式方程由一笔,每一项的一些的产品常数和一个非负的力量变量或变量。因为他们的伟大的普遍性,多项式方程可以表达的一大部分的数学关系,发生在大自然的例子,问题涉及面积、体积,混合物,和运动。在现代符号,多项式方程在一个变量表单一个_nxⁿ+一个_n−1xⁿ⁻¹+…+一个₂x²+一个₁x+一个₀= 0,在哪里一个_我被称为系数和最高权力的n被称为等式的程度(例如,quadractic 2, 3立方,4四次,五次5,等等)。Diophantus的象征意义是一种速记,而不是一个集相比于自由的象征。一个典型的案例是:Δ^νΔβζδΜβΚ^νβα^νγ(即:2x⁴−x³−3x²+ 4x+ 2)。M代表单位,ζ未知的数量、K^ν它的广场,等等。因为没有负系数,与未知的条件及其三次方出现右边的特殊符号。这个符号没有函数就像一个现代的等号方程,然而;没有什么喜欢移动从一个到另一边的象征。也,因为所有的希腊字母是用来表示特定的数字,没有简单明确的代表抽象法方程系数。

一个典型的丢番图问题将是:“找到两个数字,这样,从另一个给定的数字接收后,将承担其余给定的关系。“在现代术语中,这个问题会说(x+一个)/ (y−一个)=r,(y+b)/ (x−b)=年代。Diophantus总是与一个未知数ζ。为了解决这个特定问题,他认为,鉴于某些值,让他顺利的解决方案:一个= 30,r= 2,b= 50,年代= 3。现在这两个数字寻求ζ+ 30 (y2)和ζ−30 (x),所以,第一个比率是一个身份,^2ζ/_ζ= 2,这是实现任何非零价值ζ。为现代读者,用这些值在第二比率将导致^{(ζ+ 80)}/_(2ζ−80)= 3。通过应用他的解决方案技术,Diophantus导致ζ= 64。因此所需的两个数字是98年和94年。