的代数基本定理

笛卡尔的工作是多项式转化为an的开始自治的对象内在数学的兴趣。在很大程度上，代数等同于多项式理论。一个清晰的概念多项式方程，以及解决其中一些问题的现有技术连贯的对许多问题进行了系统的重新阐述这些问题之前都是随意处理的。议事日程上最重要的问题仍然是寻找四次以上方程的一般代数解。与此密切相关的问题是哪种数字应该算作合法的方程的解或根。解决这两个重要问题的尝试迫使数学家认识到另一个紧迫问题的中心性，即给定多项式方程的解的个数。

这个问题的答案由代数基本定理给出，它是由这位法国出生的数学家首先提出的阿尔伯特·吉拉德在1629年，它断言每个多项式实数系数可以表示为线性和二次实数因子的乘积，也可以表示为每一个多项式次方程n有复系数n复杂的根源。例如,x^3.+ 2x²−x−2为分解变成二次因子x²−1和线性因子x+ 2，即，x^3.+ 2x²−x−2 = (x²1) (x+ 2)。数学之美n解决方案n-次方程克服了大部分剩余的不情愿认为复数是合法的。

虽然每一个多项式方程都已证明满足定理，但其本质数学自古希腊时代以来一直在建立普遍的原则。因此，整个18世纪的顶尖数学家都在寻求成为第一个证明该定理的人的荣誉。他们证明中的缺陷通常与多项式和各种数字系统缺乏严格的基础有关。的确，过程批评随着不断的尝试来表述和证明定理的正确版本，修正有助于对两者的更深入的理解。

第一次完成证明这个定理是由这位德国数学家提出的卡尔·弗里德里希·高斯在他1799年的博士论文中。随后，高斯又提供了三个证明。所有这些证明的一个显著特点是，它们都是建立在方法和思想的基础上的微积分而且几何，而不是代数。这个定理是基本的，因为它建立了最基本的概念纪律作为一个整体。从历史的角度来看，这个定理也是基本的，因为它有助于巩固这门学科、它的主要工具和它的主要概念。

用激进的方法陷入僵局

这位意大利-法国数学家在高次方程的代数解法上取得了重大突破约瑟夫·路易斯·拉格朗日在1770年。拉格朗日并没有试图直接找到五次方程的通解，而是试图通过研究已知的三次和四次方程的解来澄清为什么所有的尝试都失败了。他特别注意到，当方程的系数相互置换(交换)时，与这些解相关的某些代数表达式如何保持不变。拉格朗日确信更深的分析这种不变性将为将现有解扩展到更高次方程提供关键。

运用拉格朗日的思想，1799年意大利数学家保罗·罗菲尼是第一个断言不可能得到的人吗激进的四次以上一般方程的解。他在他的作品中提出了一个概念集团的排列一个方程的根，并计算出一些基本性质。然而，鲁菲尼的证明有几个重要的缺陷。

在1796年到1801年之间，在他的框架内开创性的数论研究，高斯系统地处理了回旋方程:x^p−1 = 0 (p> 2和质数)。虽然他的新方法没有解决一般情况，高斯确实证明了这些特殊的高次方程的解。

1824年，挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔提供了第一个有效的证明，证明不可能得到超过四次的一般方程的根式解。然而，这并没有结束多项式的研究;相反，它打开了一个全新的研究领域，因为正如高斯的例子所表明的那样，有些方程确实是可解的。1828年，阿贝尔提出了这方面研究的两个要点:找到所有给定度数的方程都可以用根号解，并确定一个给定的方程是否可以用根号解。他在极度贫困中英年早逝，就在两天前，他收到了被任命为柏林教授的通知，这使他无法继续深造事业这个程序。

伽罗瓦理论

而不是像阿贝尔所说的那样，确定特定的方程能否用根号来解，这位法国数学家Evariste伽罗瓦(1811-32)追求的是一个更为普遍的问题，即为任何给定方程的可解性定义必要条件和充分条件。尽管伽罗瓦的一生短暂而又异常动荡——他因支持共和党事业而多次被捕，在21岁生日的前一天死于决斗中受伤——但他的工作重塑了代数学科。