分析
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分析的一个分支数学这涉及到连续变化以及从连续变化的研究中产生的某些一般类型的过程，比如极限，分化,集成．自从发现了微分而且积分学通过艾萨克·牛顿而且戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在17世纪末，分析已经发展成为数学研究的一个巨大而核心的领域，应用于整个科学和领域，如金融、经济学和社会学。
分析的历史起源可以在计算空间量的尝试中找到，例如曲线的长度行或者曲线围成的面积。这些问题可以单纯地说成是数学技术问题，但它们具有更广泛的重要性，因为它们在物理世界中有各种各样的解释。例如，曲线内的面积与土地测量直接相关:一块不规则形状的土地包含多少英亩?但同样的技术也决定了以选定曲线为边界的均匀材料的质量，或覆盖不规则形状所需的油漆量表面．不太明显的是，这些技术可以用来计算以不同速度移动的车辆行驶的总距离，船在海里漂浮的深度，或者总燃料消费火箭的。
类似地，在给定点上寻找曲线切线的数学技术也可以用于计算弯曲的山丘的陡度或移动的船只为避免碰撞而必须转向的角度。不太直接的是，它与计算瞬时速度或其他瞬时变化率这一极其重要的问题有关，例如在寒冷的房间中一个温暖的物体的冷却或温度的变化传播一种通过人类传播的疾病有机体
本文首先简要介绍分析的历史背景和基本概念，如数字系统，函数，连续性，无穷级数和极限，所有这些都是理解分析的必要条件。在此介绍之后是一个完整的技术回顾，从微积分到非标准分析，然后文章以完整的历史作为结尾。
历史背景
弥补算术和几何之间的差距
数学将现象分为两大类，离散而且连续，在历史上对应于之间的划分算术而且几何．离散系统只能细分到目前为止，它们可以用整数0、1、2、3、....来描述连续系统可以无限细分，它们的描述需要实数，用十进制展开表示的数，如3.14159…，可能是无限的。了解这些的本质无限小数是分析的核心。
离散数学和连续数学之间的区别是数学建模的核心问题，数学建模是用数学形式表示自然世界特征的艺术。宇宙并不包含或由实际的数学对象组成，但宇宙的许多方面与数学概念非常相似。例如，数字2作为一个物理对象并不存在，但它确实描述了人类双胞胎和双星等事物的一个重要特征。以类似的方式，实数为各种现象提供了令人满意的模型，尽管没有一个物理量可以精确地测量到小数点后十来位。适用于现实世界的不是无数个小数点后的数值，而是它们所体现和实现的演绎结构。
分析之所以产生，是因为自然界的许多方面都可以被认为是连续的——至少在一个极好的近似程度上是连续的。同样，这是一个建模的问题，而不是现实的问题。物质不是真正连续的;如果物质被细分成足够小的部分，那么就会出现不可分割的成分，或原子。但是原子是非常小的，对于大多数应用来说，把物质当作原子来处理连续体介绍了可以忽略不计错误同时大大简化了计算。例如，连续介质建模是研究流体(如空气或水)流动、弹性材料的弯曲、流体的分布或流动时的标准工程实践电流，以及热量的流动。
微积分的发现和基础的探索
创建分析有两个主要步骤。首先是发现了一种令人惊讶的关系，被称为微积分基本定理在涉及总尺寸或值计算的空间问题，如长度、面积或体积(积分)与涉及变化率的问题，如斜率之间切线速度(微分)大约1670年，微积分基本定理的独立发现，以及应用这一定理的技术的发明，都归功于戈特弗里德·威廉·莱布尼茨而且艾萨克·牛顿．
而效用微积分在解释物理现象时，它的用途立即显现出来∞在计算中(通过将曲线、几何体和物理运动分解成无数个小部分)产生了广泛的不安。尤其是圣公会主教乔治·伯克利出版了一本著名的小册子，分析师;或《致一位异教徒数学家的演讲》(1734)，他指出微积分——至少牛顿和莱布尼茨提出的微积分——有严重的逻辑缺陷。分析产生于对先前定义松散的数据进行精心细致的检查概念如函数和限制。
牛顿和莱布尼茨的微积分方法主要是几何的，涉及到除数“几乎为零”的比率——牛顿的“通量”和莱布尼茨的“无穷小”。在18世纪，微积分变得越来越代数化，最著名的数学家是瑞士人欧拉意大利语和法语约瑟夫·路易斯·拉格朗日他开始将连续性和极限的概念从几何曲线和物体推广到更抽象的代数函数，并开始将这些概念扩展到复数。尽管从基础的观点来看，这些发展并不完全令人满意，但它们对于这位法国人最终完善微积分的严格基础是至关重要的Augustin-Louis柯西，波西米亚人Bernhard博尔扎诺尤其是德国人卡尔·维尔斯特拉斯在19世纪。