微积分

平均变化率

变化率的一个简单的说明性例子是运动物体的速度。一个以a运动的物体常数速度移动的距离与时间成正比。例如，一辆汽车以每小时50公里(km/hr)的速度行驶50公里需要1小时，100公里需要2小时，150公里需要3小时，以此类推。一个图行进的距离与流逝的时间的比值看起来像一条直线行其斜率或梯度产生速度(看到数字)．

匀速没有特别的问题——在上面的例子中，任何时间间隔产生相同的速度——但变速就不那么直接了。然而，类似的方法可以用来计算物体以不同速度运动的平均速度:简单地用运动的总距离除以到达所需的时间遍历它。因此，一辆汽车行驶100公里需要2小时，平均速度为50公里/小时。然而，它可能不会在整个时期内以相同的速度运动。在一段时间内，它可能会减速、停车，甚至倒退，但在其他时间内，它会加速到足以跑完100公里的总距离。因此，平均速度——当然，如果取很长一段时间内的平均速度——并不能告诉我们任何给定时刻的实际速度。

瞬时变化率

事实上，要理解“给定时刻的速度”这个概念并不那么容易。一分钟有多长?以利亚的芝诺他是一位希腊哲学家，在公元450年左右声名显赫公元前在他的一篇著名的文章中指出悖论移动的箭头，在任何时刻都是固定的。在零时间内，它必须移动零距离。另一种说法是，移动物体的瞬时速度不能用它在0时间内移动的距离除以它移动这段距离所花费的时间来计算。这个计算得到一个分数，⁰/₀，这个词没有任何定义明确的含义。通常，分数表示特定的商。例如,⁶/_3.意思是2，这个数字乘以3得到6。同样的,⁰/₀应该是指当乘以0时，收益率0.但是任何数字乘以0都是0。原则上，⁰/₀可以取任何价值，在实践中最好认为它是没有意义的。

尽管有这些争论，人们还是强烈地感觉到，运动物体在每一个瞬间都以确定的速度运动。乘客知道汽车什么时候开得更快或更慢。所以没有意义⁰/₀这绝不是故事的结局。在牛顿和莱布尼茨之前和之后的许多数学家都认为，可以通过计算短时间间隔内的平均速度来获得瞬时速度的良好近似值。如果一辆汽车一秒钟行驶5米，那么它的平均速度是18公里/小时，除非速度变化很大，否则它的瞬时速度必须接近18公里/小时。更短的时间周期可以用来进一步细化估算。

如果给定时间内所走的总距离有一个数学公式，那么这个想法就可以转化为正式的计算。例如，假设在一段时间之后t数秒内物体移动了一段距离t²米。(类似的公式也适用于在重力作用下自由下落的物体，所以这是一个合理的选择。)为了精确地确定一秒后物体的瞬时速度，将计算连续较短时间间隔内物体的平均速度。

开始计算时，观察时间间隔t= 1和t= 1.1所走的距离是1.1²−1 = 0.21。因此，在这段时间内的平均速度是0.21/0.1 = 2.1米每秒。为了更精确的近似，两次之间的距离t= 1和t= 1.01 = 1.01²−1 = 0.0201，平均速度为0.0201/0.01 = 2.01米/秒。

该表依次显示了一秒后平均速度的更精细的近似值。很明显，时间间隔越小，平均速度就越接近2米/秒。整个桌子的结构非常引人注目地指向一个精确的价值对于瞬时速度，即2m / s。不幸的是，在表的任何地方都找不到2。无论扩展到什么程度，表中的每个条目看起来都像2.000…0001，可能有大量的零，但最后总是有一个1。也没有选择时间间隔为0的选项，因为这样旅行的距离也是0，这又回到了没有意义的分数⁰/₀．

的形式化定义导数

更一般地，假设有一个任意的时间间隔h从时间开始t= 1。那么行进的距离是(1 +h）²−1²化简为2h+h²．花费的时间是h．因此，该时间间隔内的平均速度为(2)h+h²) /h，等于2 +h,只要h≠0。显然,作为h趋于0时，平均速度趋于2。因此，瞬时速度的定义满足于值2，且仅满足于该值。没有的是什么完成实际上，整个程序刻意避免的是集h等于0。作为主教乔治·伯克利在18世纪指出，取代(2h+h²) /h2 +h，人们必须假设h不是零，这就是极限的严格定义所达到的。

更一般地，假设计算从任意时间开始t而不是固定的t= 1。则行进的距离为(t+h）²−t²化简为2th+h²．所花费的时间是h．因此，该时间间隔内的平均速度为(2)th+h²) /h，或2t+h．显然,作为h趋于0时，平均速度趋于极限2t．

这个过程非常重要，因此有一个特殊的名字:的导数t²是2t，得到此结果区分t²关于t．

现在我们可以更进一步，替换t²任何其他函数f的时间。间隔:两次之间的距离t而且t+h是f（t+h)−f（t)．花费的时间是h．所以平均速度是（f（t+h)−f（t)) /h．（3）如果(3)趋于极限为h趋于0，那么极限定义为的导数f（t),写f”(t)．导数的另一个常用符号是^df/_dt，象征着小的变化f除以小的变化t．函数是可微的t如果它的导数对特定值存在t．如果导数对所有函数都存在，它是可微的t的f（t)定义。可微函数必须是连续的，但是相反的情况是假的。(事实上，在1872年，魏尔斯特拉斯提出了一个连续函数的第一个例子有区别的在任意一点上，一个函数现在被称为无处可微的函数。)表2列出了少数初等函数的导数。它还列出了他们的积分，如下所述。