复杂的分析

复数的正式定义

现代的方法是定义一个复数x+我y作为一对实数(x，y)受制于某些代数运算。因此，人们希望加或减，(一个，b)±(c，d)和相乘，(一个，b) × (c，d)，或除，(一个，b) / (c，d)，这些量。这些作品的灵感来自于以下愿望:x， 0)表现得像实数x重要的是，要排列(0,1)²=(−1,0)——同时尽可能多地保留代数规则。这是一种正式的集建立一种情境，它实际上确保了一个人可以用表达式进行操作x+我y使用所有的标准代数规则但必要时要回忆一下我²可以用−1代替。例如,(1 + 3我）²= 1²+ 2∙3我+ (3我）²= 1 + 6我+ 9我²= 1 + 6我−9 =−8 + 6我．复数的几何解释是很容易得到的，因为一对(x，y中所示平面上的点数字．而实数可以用一个数字来描述行，左边是负数，右边是正数，复数需要一个实数和虚数两个轴的数平面。

解析概念对复数的推广

分析比如极限，导数，积分,无穷级数(所有内容将在本节中解释技术预赛而且微积分)是基于代数概念，以及错误定义极限过程的估计:某些数字必须由特定的代数表达式任意地很好地近似。为了表示近似值的概念，所需要的只是一种定义良好的方法来衡量一个数字有多“小”。对于实数，可以使用绝对值|来实现x|。几何上，它是沿实数线的距离x原点为0。距离在复平面上也有意义，它们可以用毕达哥拉斯定理从小学几何(直角三角形斜边的平方等于它两条边的平方和)，通过构造一个直角三角形，使它的斜边跨越两点之间的距离，并且它的边平行于坐标轴。这一思路引出了复数的数量类似的, |x|是

由于实代数的所有规则都可以推广到复数，绝对值是由代数公式定义的，因此分析也可以推广到复数。形式定义取自实数情况，实数替换为复数，实数绝对值替换为复数绝对值。的确，这是严谨分析的优点之一:如果没有这一点，如何将切线或极限等概念从实情况推广到复数就不那么明显了。

在类似的脉络下，泰勒级数对于真实的指数函数和三角函数，展示了如何扩展这些定义以包括复数——只需使用相同的级数，但替换实变量x由复杂的变量z．这一思想导致复解析函数作为实解析函数的扩展。

因为复数在某些方面不同于实数——它们的结构在某些方面更简单，在另一些方面更丰富——所以在实数分析和复数分析之间存在细节上的差异。复杂的集成特别是，它具有完全新颖的特点。一个真正的函数必须集成之间的限制一个而且b，和黎曼积分定义为涉及沿区间分布的值的和一个来b．在实数轴上，两点之间的唯一路径一个而且b是它们形成的端点的区间。但在复平面中，两个给定点之间有许多不同的路径(看到数字)．的积分因此，直到指定了端点之间的路径，函数的值才被定义。这样，黎曼积分的定义就可以推广到复数情况。然而，结果可能取决于所选择的路径。

令人惊讶的是，这种依赖性非常弱。事实上，有时根本不存在依赖关系。但如果有，情况就变得非常有趣了。积分的值只依赖于路径的某些定性特征——用现代术语来说，依赖于它的拓扑结构。（拓扑结构通常被描述为“橡胶板几何”，它研究的是一个形状的那些特性，如果它通过弯曲、拉伸和扭曲而不撕裂而不断变形，这些特性是不变的。)因此，复杂分析具有一种新的成分，一种灵活的几何，这在实际分析中是完全缺乏的。这会让它有一种非常不同的味道。

这一切在1811年，德国数学家，德国天文学家弗里德里希·贝塞尔的一封信中变得清晰起来卡尔·弗里德里希·高斯阐述了复分析的中心定理:

我现在确认，积分…只有一个值，即使取不同的路径，只要[函数]…不会变成无限在两条路径围成的空间里。

一个证明由柯西在1825年发表，这个结果现在被命名为柯西定理。柯西继续发展了一个庞大的复杂分析理论及其应用。

尽管积分具有多值的性质，但复分析的部分重要性在于它通常比实分析表现得更好。实域中的问题通常可以通过将它们扩展到复杂域来解决，应用该领域特有的强大技术，然后将结果再次限制到实域。从19世纪中期开始，复杂分析的进展强劲而稳定。一个曾经被认为是不可能和无意义的数字系统，导致了一个强大的、美学上令人满意的理论，并将其实际应用于空气动力学，流体力学，电力一代,数学物理．没有面积数学仍然没有受到这个深远的丰富的数字的影响概念．

下面概述的是建立复杂分析的更基本部分所涉及的一些关键思想。或者，读者可以直接读到这一节测度理论．