精化和概括
欧拉和无穷级数
17世纪的技术分化，集成,无限过程具有巨大的力量和范围，它们的使用在接下来的一个世纪得到了扩展。仅欧拉的结果就足以使牛顿、莱布尼茨和伯努利的发现加起来相形见绌。他的许多著作都是在他们的基础上发展起来的，发展了天体、流体、柔性和弹性介质的力学。例如，欧拉研究了描述三个质量在相互引力作用下的运动的难题(现在被称为引力三体问题)．欧拉的工作应用于日月地系统，极大地提高了用于导航的月球表的准确性，为此，英国经度委员会授予他一个奖章货币奖。他还将分析应用于薄弹性梁的弯曲和帆的设计。
欧拉还将分析引入了新的方向。1734年，他解决了一个问题无穷级数这个系列的总和打败了他的前任1/12+1/22+1/3.2+1/42+⋯。欧拉发现和是π2/6通过大胆的一步，将级数与下面的无穷大的根和进行比较多项式式(由幂级数对于正弦函数):sin (的平方根√x）/的平方根√x= 1−x/3！+x2/5！−x3./7！+⋯= 0。欧拉后来推广了这个结果，得到了值函数的
对于所有的偶数年代．
函数ζ(年代)，后来被称为黎曼ζ函数是一个真正属于19世纪的概念。当欧拉发现ζ(的基本性质时，他看到了未来年代)在他的《无限分析导论(1748):对整数1,2,3,4，…的和等于对素数2,3,5,7,11,13,17，…的乘积，即
这个惊人的公式是第一个暗示，分析——连续理论——可以解释离散的和神秘的素数。ζ函数揭开了质数的许多秘密——例如，质数有无穷多个。要知道为什么，假设只有有限个质数。那么ζ(年代)将只有有限个项，因此会有一个有限的值年代= 1。但对于年代= 1，左边的和是调和级数，奥瑞斯姆证明它是无穷大的，因此产生了一个矛盾。
当然我们已经知道有无穷多个质数，这是一个著名的定理欧几里得的欧拉的证明让我们对结果有了更深入的了解。到20世纪末，质数已成为大多数电子交易安全的关键，敏感信息被“隐藏”在大型质数相乘的过程中(看到密码学)．这需要无限的质数供给避免质数在其他交易中重复使用，使质数的无限性成为质数的基础之一电子商务．
复指数
作为欧拉工作的最后一个例子，考虑他著名的公式复杂的指数e我θcos (θ) +我Sin (θ)其中我＝的平方根√−1．就像他的ζ(2)公式一样，令人惊讶地将π与自然数的平方联系起来e我θ涉及所有最著名的数字-e，我， π -以一种神奇的简单方式。用π代替θ，式中有e我π=−1，这无疑是最显著的公式数学．
的公式e我θ出现在欧拉公式中简介，他通过比较泰勒级数对于两边。这个公式实际上是对牛顿同时代的英国人罗杰·柯特和亚伯拉罕·德·莫弗欧拉可能也受到了与他的导师约翰·伯努利讨论的影响，但它明确地表明正弦和余弦函数只是方程的一部分指数函数．这也是对未来的一瞥，许多对真实的函数将被融合成一个单一的“复杂”函数。在解释这意味着什么之前，需要更多地谈谈函数概念在18世纪的演变。
功能
微积分通过提供定义函数的新方法，如无穷级数和积分．更一般地说，函数是的解常微分方程(涉及一个变量的函数及其导数)和偏微分方程(包括几个变量的函数和关于这些变量的导数)。许多物理量依赖于不止一个变量，所以方程数学物理通常涉及偏导数。
在18世纪，这类方程中最丰富的是由法国数学家推导出的振动弦方程让·勒朗贝尔在1747年，与数量的变化率有关振动拉紧的小提琴弦(看到音乐的起源)．这导致了一个惊人的结论:任意连续函数f（x)可以表示为0到2π之间的正弦和余弦函数在一个级数(后来称为a傅里叶级数)的形式y＝f（x) =一个0/2 + (一个1cos(πx） +b1sin(πx) + (一个2因为(2πx） +b2罪(2πx) +⋯。
但什么是任意连续函数，它总是正确地表示为这样的级数吗?的确，这样的级数一定代表一个连续函数吗?法国数学家约瑟夫傅里叶在他的热的分析理论(1822)。随后的研究出现了许多令人惊讶的结果，不仅使人们更好地理解连续函数，而且还使人们更好地理解不连续函数，不连续函数确实以傅里叶级数的形式出现。这反过来又导致了对概念的重要概括积分设计集成高度不连续函数——1854年的黎曼积分和勒贝格积分1902股。（看到黎曼积分而且测度理论．）
流体流动
当法国数学家亚历克西斯·克莱罗(Alexis Clairaut)在1740年和达朗贝尔(d 'Alembert)在1752年发现流体流动方程时，一个不同方向的进化开始了。他们的方程控制着速度分量u而且v在某一时刻(x，y)在稳定的二维流动中。就像振动的弦一样，流体的运动是相当随意的，尽管不是完全随意——达朗伯特惊讶地注意到，速度分量的组合，u+我v的可微函数x+我y．和欧拉一样，他发现了a的函数复杂的变量,u而且v分别是实部和虚部。
这个性质u+我v在法国被重新发现是由Augustin-Louis柯西在1827年和德国Bernhard黎曼在1851年。在这个时候，复数已经成为数学中公认的一部分，遵循与实数相同的代数规则，并且作为平面上的点有明确的几何解释。任何复函数f（z)可在表格中填写f（z) =f（x+我y) =u（x，y） +我v（x，y),u而且v的实值函数是x而且y．复可微函数的极限是f”(z)的(f（z+h)−f（z)) /h存在,h趋于0。然而，与实数不同，实数只能沿实数趋近于零行，复数驻留在平面上，an无限路径数是0。结果证明，为了得到相同的极限f”(z),h从任何方向都趋向于0，u而且v必须满足Clairaut和d 'Alembert方程(看到达朗贝尔波动方程)．
可视化可微性的一种方法是解释函数f作为一个映射从一个平面到另一个平面。为f”(z)的存在，功能f一定是"在小范围内保持相似"或者"共形"意思是无穷小区域被忠实地映射到相同形状的区域，尽管可能被某些因素旋转和放大。这使得可微复函数在实际的映射问题中很有用，甚至在柯西和黎曼认识到它们的理论重要性之前，它们就被用于这个目的。
可微性是复函数比实函数更重要的性质。柯西发现，如果一个函数是第一个导数存在，那么它的所有导数都存在，因此它可以用的幂级数表示z-它是泰勒级数。这样的函数被调用分析．与像弦一样“灵活”的实可微函数相反，复杂可微函数是“刚性”的，因为函数的任何区域都决定整个函数。这是因为函数在任何区域上的值，无论它有多小，都决定了它的所有导数，因此它们决定了它的幂级数。因此，它变成了可行的用幂级数来研究分析函数，这是意大利裔法国数学家尝试的一个程序约瑟夫·路易斯·拉格朗日在18世纪，德国数学家首次成功地实现了实函数卡尔·维尔斯特拉斯在19世纪，在复解析函数的合适主题被发现之后。