分析历史

毕达哥拉斯学派和无理数

最初，毕达哥拉斯学派认为所有事物都可以用离散的自然数(1,2,3，…)和它们的比值(普通分数或有理数)来衡量。然而，当人们发现一个单位正方形(即边长为1的正方形)的对角线不能表示为a时，这种信念就动摇了有理数．这一发现是他们自己带来的勾股定理，它建立了直角三角形斜边的平方等于其他两边的平方和——用现代符号来说，c²＝一个²+b²．在单位正方形中，对角线是有边的直角三角形的斜边一个＝b= 1;因此，它的度量是的平方根√2——无理数．毕达哥拉斯学派就这样违背了他们自己的意图，证明了有理数是不存在的足够了甚至可以测量简单的几何物体。（看到栏:不可通约的)。他们的反应是创造一个算术的行片段，如在第二卷欧几里得的元素（c。300公元前)，其中包括有理数的几何解释。对希腊人来说，线段比数字更为普遍，因为线段既包括连续的大小，也包括离散的大小。

的确,的平方根√2与有理数只能通过an无限的过程。这是由欧几里得实现的，他研究有理数和线段的算术。他著名的欧几里得算法，当应用于一对自然数时，会导致有限步数到它们的最大公约数。然而，当应用于一对具有无理数的线段时比，例如的平方根√2第一，它不能终止。欧几里得甚至用这个不终止性质作为标准非理性。因此，非理性迫使希腊人处理无限的过程，从而挑战了希腊人的数字概念。

芝诺悖论和运动的概念

就像的平方根√2是对希腊人数字概念的挑战，芝诺悖论是对他们观念的挑战运动．在他的物理（c。350公元前)，亚里士多德引用芝诺的话说:

没有运动，因为被移动的物体必须在到达终点之前到达中间。

芝诺的论点只有亚里士多德知道，他引用它们主要是为了反驳它们。芝诺的意思大概是，要到达任何地方，一个人必须先走一半，然后再走四分之一，然后再走八分之一，以此类推。因为这个距离减半的过程会持续到∞(一个概念这是希腊人不可能接受的)，芝诺声称要“证明”现实是由不变的存在组成的。尽管希腊人厌恶无穷，但他们发现无穷这个概念在连续量的数学中是不可缺少的。所以他们对无穷进行了尽可能有限的推理，在一个叫做比例理论和使用用尽方法．

比例理论是由Eudoxus约350公元前保存在欧几里得的第五卷里元素．它在合理量值和任意量值之间建立了一种确切的关系，定义两个量值相等，即小于它们的合理量值相等。换句话说，只有在两个量值之间严格存在一个合理量值时，这两个量值才是不同的。这个定义对数学家有好处几千年为他铺平了道路分析的算术化在19世纪，任意数被严格地定义为有理数。比例理论是对极限概念的第一次严格处理，这一概念是现代分析的核心。在现代意义上，欧多克索斯的理论将任意量值定义为有理数的极限，关于量值的和、差、积的基本定理等价于关于极限的和、差、积的定理。

穷竭法

的用尽方法，也是由于欧多克索斯，是比例理论的推广。欧多克索斯的想法是测量任意的对象，将它们定义为多个多边形或多面体的组合。通过这种方法，他可以借助一些已知尺寸的形状，如三角形和三角形棱镜，计算出许多物体的体积和面积。例如，通过使用成堆的棱镜，Eudoxus能够证明金字塔的体积是其底部面积的三分之一B乘以它的高度h，或者用现代的符号表示Bh/ 3。粗略地说，随着棱镜的厚度逐渐变小，金字塔的体积被成堆的棱镜“耗尽”了。更准确地说，欧多克索斯证明了任何体积小于Bh/3可能是超过了由金字塔内的一堆棱镜组成，体积大于Bh/3可能被包含金字塔的一堆棱镜所削弱。因此，金字塔本身的体积只能是Bh所有其他的可能性都已“用尽”。类似地，Eudoxus证明了圆形圆盘的面积与其半径的平方成正比(看到边栏:圆周率食谱)和锥体的体积(通过用金字塔把锥体耗尽而得到)也是Bh/ 3,B还是基底和的面积h是圆锥的高度。

力竭法的最大代表是阿基米德(287 - 212/211公元前)．他的发现包括抛物线段的面积，抛物面的体积切到一个螺旋，和一个证明球面的体积是圆柱体体积的三分之二。他对抛物线段面积的计算涉及到的应用无穷级数几何。在这种情况下，是无穷大几何级数1 +¹/₄+¹/₁₆+¹/₆₄+⋯=⁴/_3.是通过依次加一个具有单位面积的三角形得到的，那么三角形的总和是多少¹/₄单位面积，然后三角形¹/₁₆，以此类推，直到该区域被耗尽。然而，阿基米德避免了与无限的实际接触，他证明了在有限项之后停止得到的级数可以超过任何小于的数⁴/_3.．用现代术语来说，⁴/_3.是部分和的极限。想了解他是如何发现的，看到边栏:阿基米德丢失的方法．