常微分方程

牛顿与微分方程

分析是知识的基石之一数学．它不仅在数学本身很重要，而且因为它在科学领域的广泛应用。分析应用的主要载体是微分方程，将各种数量的变化率与它们的当前值联系起来，这使得在原则上和通常在实践中预测未来的行为成为可能。微分方程产生于艾萨克·牛顿在动力学在17世纪，基本的数学思想将会在这里以现代的方式描述。

牛顿运动定律

想象一个物体沿着行，其到某选定点的距离由函数x（t)在时间t．(象征x这里是传统而不是象征吗f对于一般函数，但这纯粹是符号约定)运动物体的瞬时速度是距离的变化率，即导数x”(t)．它的瞬时加速度是速度变化率，也就是二阶导数x”(t)．根据最重要的牛顿运动定律，即质量物体所经历的加速度米与力成正比F应用时，可以用方程F＝米x”。（4）

假设米而且F(可能随时间而变化)被指定，人们希望计算身体的运动。仅仅知道它的加速度是不令人满意的;人们希望知道它的位置x在任意时间t．为了应用式(4)，必须解出x，而不是二阶导x”。因此，我们必须解出这个量的方程x当方程涉及导数时x．这样的方程被称为微分方程，它们的解所需要的技术远远超出了通常求解代数方程的方法。

例如，考虑最简单的情况，其中质量米和力量F是常数就像在地球重力作用下下落的物体一样。那么式(4)可以写成x”(t) =^F/_米．（5）集成(5)一次就时间给予x”(t) =^Ft/_米+b(6）在哪里b是一个任意常数。对时间收益率(6)进行积分x（t) =^Ft2/_2米+bt+c有第二个常数c．常数的值b而且c取决于初始条件;的确,c是初始位置，和b是初速度。

指数增长和衰减

牛顿运动定律方程可以通过对时间积分两次来解，因为时间是函数中唯一的变量项x”。不是所有的微分方程都能用这样简单的方法求解。例如，放射性衰变一种物质是由微分方程x”(t) =−kx（t) (7)在哪里k是正常数和吗x（t)是指在一段时间内仍具有放射性的物质的数量t．这个方程可以写成^x”(t）/_x（t）=−k．（8）

(8)的左边可以表示为ln的导数x（t)，则方程为集成屈服于lnx（t) +c=−kt对于一个常数c这是由初始条件决定的。同样,x（t) =e^−(kt+c）．这个解表示指数衰变:在任何固定的时间内，相同比例的物质衰变。放射性的这一特性反映在给定放射性物质的半衰期的概念中——也就是说，一半的物质衰变所花费的时间。

令人惊讶的是，大量的自然过程显示出指数级的衰减或增长。(将式(7)右侧的符号由负变为正，得到指数增长的微分方程。)然而，如果考虑到只有指数函数的导数与其自身成比例这一事实，这就不那么令人惊讶了。换句话说，指数函数的变化率直接取决于它们的当前值。这解释了它们在数学模型中的普遍存在。例如，放射性物质越多，产生的辐射就越多;“热的尸体”和“冷的房间”之间的温度差越大，热量损失就越快(这被称为牛顿冷却定律，是验尸官武器库中的一个重要工具);节省的越多，收益就越大复合的兴趣;人口越大(在不受限制的环境中)，人口爆炸就越大。