其他分析领域

功能分析

在20世纪20年代和30年代，许多明显不同的分析领域都归结为一个概括——确切地说，是两个概括，一个比另一个更一般。这些是a的概念希尔伯特空间和一个巴拿赫空间，以德国数学家的名字命名大卫希尔伯特波兰数学家斯特凡•巴拿赫,分别。他们共同为现在所谓的泛函分析奠定了基础。

功能分析从本节解释的原理开始复杂的分析，以定义基本分析比如极限或者导数，只要能进行一定的代数运算，并有适当的大小概念就足够了。在实际分析中，尺寸用绝对值|来测量x|;对于复分析，用绝对值|来测量x+我y|。多元函数分析——也就是偏导数理论——也可以归到同一范畴。在实际情况中集的实数替换为向量空间Rⁿ所有的n-实数元组x= (x₁、……x_n)，其中x_j是一个实数．用于代替绝对词价值长度是向量x，定义为事实上，有一个紧密相关的概念，叫做内积，书写<x，y>，其中x，y是向量。它等于x₁y₁+⋯+x_ny_n．内积不仅与的大小有关x而且y而是它们之间的角度。例如，<x，y> = 0当且仅当x而且y都是正交的，彼此成直角。而且，内积决定了长度，因为||x| | =的平方根√〈x，x〉．如果F（x) = (f₁（x),…f_k（x)是向量值函数的向量x= (x₁、……x_n)时，导数不再有数值。相反，它是线性的操作符，一种特殊的函数。

几个复杂变量的函数同样归结为对空间的研究Cⁿ的n-复数元组x+我y= (x₁+我y₁、……x_n+我y_n)．用来代替绝对值的是然而，复变量解析函数的正确概念是很微妙的，它是在20世纪才发展起来的。因此，这里只考虑实际情况。

希尔伯特意识到这些概念可以从向量——实数的有限序列——扩展到无限实数序列。定义(最简单的例子)希尔伯特空间由所有无限序列组成x= (x₀，x₁，x₂，…)的实数，条件是序列是可平方和的，这意味着无穷级数x₀²+x₁²+x₂²+⋯⋯收敛到一个有限值。现在定义两个这样的序列的内积为〈x，y> =x₀y₀+x₁y₁+x₂y₂+⋯。可以证明，这也需要一个有限值希尔伯特发现，可以在希尔伯特空间上进行分析的基本运算。例如，可以定义一个序列的收敛性b₀，b₁，b₂，…b_j不是数字，而是希尔伯特空间无限序列的元素。关键的是，有了这个收敛的定义，希尔伯特空间是完整的:每个柯西序列都是收敛的。一节实数的性质表明完备性是实值函数分析的核心，对于希尔伯特空间上的函数也是如此。

更一般地说，广义的希尔伯特空间可以定义为一个(实或复)向量空间，其内积使其完备，并确定了一个范数——一个受一定约束的长度概念。这样的例子数不胜数。此外，这个概念非常有用，因为它统一了大量的经典分析。它使傅里叶分析变得非常有意义，提供了一个令人满意的环境，在这个环境中收敛问题相对不那么微妙和直接。它没有解决各种微妙的经典问题，而是完全绕过了它们。它组织勒贝格的度量理论(在本节中描述)测度理论)．理论积分方程微分方程但是有积分而不是衍生品，在希尔伯特的时代非常流行，这也可以被带入同一个框架。希尔伯特没有预料到的是，因为他在必要的物理理论被发现之前就去世了，希尔伯特空间也被证明是理想的量子力学．在经典物理学中，可观测值只是一个数字;今天量子机械可观测值被定义为希尔伯特空间上的一个算子。

巴拿赫大大扩展了希尔伯特的思想。巴拿赫空间是有范数的向量空间，但不一定由内积给出。同样，空间必须完整。巴拿赫空间理论作为研究偏微分方程的框架是极其重要的，它可以被看作是变量位于合适的巴拿赫空间中的代数方程。例如，解波方程对于小提琴弦来说就相当于找到方程的解P（u) = 0，其中u是巴拿赫函数空间中的元素u（x)定义在区间0≤上x≤l在哪里P是波算符．