分析gydF4y2Ba
分析gydF4y2Ba
快速的事实gydF4y2Ba
媒体gydF4y2Ba
更多的gydF4y2Ba

偏微分方程gydF4y2Ba

从18世纪起,巨大的进步在数学思想的应用物理科学中出现的问题:热、声音、光、液gydF4y2Ba动力学gydF4y2Ba、弹性、电力和磁力。之间的复杂的相互作用gydF4y2Ba数学gydF4y2Ba及其应用导致了许多新的发现。主要的统一的主题在这工作的概念gydF4y2Ba偏微分方程gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

音乐的起源gydF4y2Ba

和谐gydF4y2Ba

引发了整个开发的问题看似简单,它是令人惊讶的是远离任何严重的实际应用,与其说来自物理科学,而是来自音乐:什么是适当的运动的数学描述gydF4y2Ba小提琴gydF4y2Ba字符串?毕达哥拉斯崇拜gydF4y2Ba古希腊gydF4y2Ba还发现灵感的音乐,特别是音乐gydF4y2Ba和谐gydF4y2Ba。他们尝试用音符听起来不同长度的字符串,和一个伟大的发现是,两个音符听起来令人愉快的在一起,或和谐,如果对应的字符串的长度等简单的数值比例是2:1或3:2。我们花了两个多gydF4y2Ba几千年gydF4y2Ba之前数学可以解释为什么这些比率出现自然弹性运动的字符串。gydF4y2Ba

正常模式gydF4y2Ba

最早获得的主要结果是在1714年由英国数学家gydF4y2Ba布鲁克泰勒gydF4y2Ba,小提琴的基本振动频率计算字符串的长度、张力和密度。古希腊人知道一个振动的弦可以产生许多不同的音符,根据节点的位置,或rest-points (gydF4y2Ba看到gydF4y2Ba图)。今天,它是知道的gydF4y2Ba音乐的音高gydF4y2Ba是由vibration-the数量的完整周期的频率每秒钟振动。字符串运动越快,频率越高,越注意它产生。的基本频率,只有结束点在休息的时候。如果字符串有一个节点在其中心,然后产生一个报告在双频率(由人耳听到高一个八度);和节点越多,音符的频率就越高。这些更高的振动称为色彩。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba振动gydF4y2Ba产生的驻波。即字符串在任何即时的形状是相同的,除了它拉伸或压缩在其长度方向成直角。的最大拉伸波的振幅,这身体决定了声注意声音。所示的波形正弦在shape-given正弦gydF4y2Ba函数gydF4y2Ba从三角和振幅随时间呈现正弦。驻波的这种简单的被称为正常模式。他们的频率整数倍的一个基本频率源毕达哥拉斯学派的数学简单的数值比例。gydF4y2Ba

偏导数gydF4y2Ba

1746年,法国数学家gydF4y2Ba琴乐圆达朗贝尔gydF4y2Ba显示,整个故事并不是那么简单。有很多不正常的小提琴弦振动模式。事实上,达朗贝尔证明波时的形状gydF4y2BatgydF4y2Ba= 0可以gydF4y2Ba任意的gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

一个振动小提琴stringA小提琴弦,长度,摘及其位移,y,画。注意,两x, y是一个函数的位置相应的休息点,和t,一个特定的瞬间。gydF4y2Ba

想象一个字符串的长度gydF4y2BalgydF4y2Ba,拉伸gydF4y2BaxgydF4y2Ba从(0,0)设在(gydF4y2BalgydF4y2Ba,0),假设在时间gydF4y2BatgydF4y2Ba点(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,0)是一个数量流离失所gydF4y2BaygydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)gydF4y2BaygydF4y2Ba方向(gydF4y2Ba看到gydF4y2Ba图gydF4y2Ba)。这个函数gydF4y2BaygydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)——或者,更简单地说,而已gydF4y2BaygydF4y2Ba是两个变量的函数;也就是说,它并不取决于单个变量gydF4y2BatgydF4y2Ba但在gydF4y2BaxgydF4y2Ba。如果某个值gydF4y2BaxgydF4y2Ba选择并保持固定,这仍然是可能的吗gydF4y2BatgydF4y2Ba不同;所以一个函数gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BatgydF4y2Ba可以定义)gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BatgydF4y2Ba)=gydF4y2BaygydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba这个固定)gydF4y2BaxgydF4y2Ba。的gydF4y2Ba导数gydF4y2BafgydF4y2Ba′(gydF4y2BatgydF4y2Ba这个函数被调用gydF4y2Ba偏导数gydF4y2Ba的gydF4y2BaygydF4y2Ba关于gydF4y2BatgydF4y2Ba;和生产的过程叫做部分gydF4y2Ba分化gydF4y2Ba关于gydF4y2BatgydF4y2Ba。的偏导数gydF4y2BafgydF4y2Ba关于gydF4y2BatgydF4y2Ba写∂gydF4y2BaygydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba∂,象征是一种特殊形式的信gydF4y2BadgydF4y2Ba留给这个特殊的操作。一个gydF4y2Ba替代gydF4y2Ba简单的符号gydF4y2BaygydF4y2BatgydF4y2Ba。类似地,修复gydF4y2BatgydF4y2Ba而不是gydF4y2BaxgydF4y2Ba给的偏导数gydF4y2BaygydF4y2Ba关于gydF4y2BaxgydF4y2Ba,∂gydF4y2BaygydF4y2Ba/∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba或gydF4y2BaygydF4y2BaxgydF4y2Ba。在这两种情况下,计算偏导数的方法是将所有其他变量视为常数,然后发现通常的导数的函数对所选择的变量。例如,如果gydF4y2BaygydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)=gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2BatgydF4y2Ba3gydF4y2Ba,然后gydF4y2BaygydF4y2BatgydF4y2Ba= 3gydF4y2BatgydF4y2Ba2gydF4y2Ba和gydF4y2BaygydF4y2BaxgydF4y2Ba= 2gydF4y2BaxgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

这两个gydF4y2BaygydF4y2BaxgydF4y2Ba和gydF4y2BaygydF4y2BatgydF4y2Ba再一次函数的两个变量gydF4y2BaxgydF4y2Ba和gydF4y2BatgydF4y2Ba,所以他们可以部分gydF4y2Ba有区别的gydF4y2Ba关于要么gydF4y2BaxgydF4y2Ba或gydF4y2BatgydF4y2Ba。的偏导数gydF4y2BaygydF4y2BatgydF4y2Ba关于gydF4y2BatgydF4y2Ba写gydF4y2BaygydF4y2BatgydF4y2BatgydF4y2Ba或∂gydF4y2Ba2gydF4y2BaygydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba2gydF4y2Ba;的偏导数gydF4y2BaygydF4y2BatgydF4y2Ba关于gydF4y2BaxgydF4y2Ba写gydF4y2BaygydF4y2BatgydF4y2BaxgydF4y2Ba或∂gydF4y2Ba2gydF4y2BaygydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba;等等。今后将使用简单的下标符号。gydF4y2Ba

达朗贝尔波方程gydF4y2Ba

达朗贝尔波动方程的形式gydF4y2BaygydF4y2BatgydF4y2BatgydF4y2Ba=gydF4y2BacgydF4y2Ba2gydF4y2BaygydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba。(9)gydF4y2Ba在这里gydF4y2BacgydF4y2Ba是一个gydF4y2Ba常数gydF4y2Ba与弦的刚度有关。(9)的物理解释是加速度(gydF4y2BaygydF4y2BatgydF4y2BatgydF4y2Ba)的一小部分字符串拉力成正比(gydF4y2BaygydF4y2BaxgydF4y2BaxgydF4y2Ba)。因为gydF4y2Ba方程gydF4y2Ba涉及到部分gydF4y2Ba衍生品gydF4y2Ba,它被称为一个偏微分方程与微分方程描述的以前,,涉及衍生品只有一个变量,称为常微分方程。由于偏微分法是应用(例如,两倍gydF4y2BaygydF4y2BatgydF4y2BatgydF4y2Ba从gydF4y2BaygydF4y2Ba),方程是二阶的。gydF4y2Ba

为了指定物理现实的解决方案,达朗贝尔波动方程必须辅以边界条件,它表达的事实小提琴弦的末端是固定的。这里的边界条件形式gydF4y2BaygydF4y2Ba(0,gydF4y2BatgydF4y2Ba)= 0和gydF4y2Ba
ygydF4y2Ba(gydF4y2BalgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)= 0gydF4y2BatgydF4y2Ba。(10)gydF4y2Ba达朗贝尔显示的通解(10)gydF4y2BaygydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2BatgydF4y2Ba)=gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2BacgydF4y2BatgydF4y2Ba)+gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2BacgydF4y2BatgydF4y2Ba)(11)gydF4y2Ba在哪里gydF4y2BafgydF4y2Ba和gydF4y2BaggydF4y2Ba是任意的函数(一个变量)。这个解决方案的物理解释gydF4y2BafgydF4y2Ba代表波的形状和速度gydF4y2BacgydF4y2Ba沿着gydF4y2BaxgydF4y2Ba设在负方向,gydF4y2BaggydF4y2Ba代表旅行沿着波的形状gydF4y2BaxgydF4y2Ba设在正方向。一般的解决方案是两个旅行波的叠加,产生复杂的波形所示gydF4y2Ba图gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

为了满足给定的边界条件(10)的功能gydF4y2BafgydF4y2Ba和gydF4y2BaggydF4y2Ba必须相关方程gydF4y2BafgydF4y2Ba(−gydF4y2BacgydF4y2BatgydF4y2Ba)+gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BacgydF4y2BatgydF4y2Ba)= 0和gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BalgydF4y2Ba−gydF4y2BacgydF4y2BatgydF4y2Ba)+gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BalgydF4y2Ba+gydF4y2BacgydF4y2BatgydF4y2Ba)= 0gydF4y2BatgydF4y2Ba。gydF4y2Ba这些方程暗示gydF4y2BaggydF4y2Ba=−gydF4y2BafgydF4y2Ba,这gydF4y2BafgydF4y2Ba是一个奇怪的函数一满意吗gydF4y2BafgydF4y2Ba(−gydF4y2BaugydF4y2Ba)=−gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BaugydF4y2Ba),gydF4y2BafgydF4y2Ba周期与2吗gydF4y2BalgydF4y2Ba,这意味着gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BaugydF4y2Ba+ 2gydF4y2BalgydF4y2Ba)=gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BaugydF4y2Ba)为所有gydF4y2BaugydF4y2Ba。注意到的部分gydF4y2BafgydF4y2Ba躺在之间gydF4y2BaxgydF4y2Ba= 0和gydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BalgydF4y2Ba是任意的,它对应于物理事实小提琴弦可以从任何形状开始振动(受制于其两端固定)。特别是,它的形状不需要正弦,证明解决方案除了正常模式可能发生。gydF4y2Ba