重建的基础

算术化的分析

在19世纪之前,分析停留在临时的基础算术和几何,支持离散和连续的主题,分别。时间以来,数学家Eudoxus怀疑”都是数字,“当在怀疑他们用几何。这务实的妥协在1799年开始崩溃,当高斯发现自己不得不使用连续性的结果似乎是离散代数基本定理。

这个定理说任何多项式方程有解的复数。高斯的第一证明低于(尽管这不是立即认出了),因为它假定的结果明显的几何实际上比定理本身。1816年高斯尝试另一个证据,这个时候依赖假设称为走软介值定理:如果f(x)是一个连续的函数真正的变量x如果f(一个)< 0和f(b)> 0,然后有一个c之间的一个和b这样f(c)= 0。

证明中间的重要性价值波西米亚定理被认为在1817年的数学家Bernhard博尔扎诺,他看到了一个机会把几何假设从代数。他试图证明本质上介绍了函数的连续性的现代条件f在一个点x:f(x+h)−f(x)可以比任何给定的数量小,提供h可以任意接近于零。博尔扎诺还依赖于一个推测存在最大下界:如果某个属性米只有值大于一些数量l,然后有一个最大数量u这样米只有值大于或等于u。博尔扎诺可以不超过这一点,因为在他的时间概念数量还是太模糊。这是号码吗?这是一个行段?在任何情况下如何决定是否点一行有最大下界吗?

由德国数学家遇到同样的问题理查德绰金当教学微积分,他后来描述说他不满几何直觉:

对自己不满的这种感觉是如此的强烈,我做了一个固定的决心继续冥想这个问题直到我应该找到一个纯粹的算术和非常严格的原则的基础无穷小分析。于1858年11月24日…我成功。

绰金消除几何Eudoxus回到一个主意的,但是将这一概念再推进一步。Eudoxus说,实际上,一个点在直线上根据其位置是独一无二的