分析gydF4y2Ba
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复态分析的一些关键思想gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba复数gydF4y2Ba通常用gydF4y2BazgydF4y2Ba＝gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba我gydF4y2BaygydF4y2Ba．复值gydF4y2Ba函数gydF4y2BafgydF4y2Ba分配给每个人gydF4y2BazgydF4y2Ba在复平面的某个区域Ω上有一个复数gydF4y2BawgydF4y2Ba＝gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BazgydF4y2Ba)．通常假设区域Ω是连接的(都是完整的)并且是开放的(Ω的每个点都可以被完全位于Ω内的一个小磁盘包围)。这样一个函数gydF4y2BafgydF4y2Ba在一点上是可微的吗gydF4y2BazgydF4y2Ba0gydF4y2Ba在Ω中，如果限制存在为gydF4y2BazgydF4y2Ba方法gydF4y2BazgydF4y2Ba0gydF4y2Ba表达式的表达式gydF4y2Ba分析公式gydF4y2Ba．gydF4y2Ba这个极限是gydF4y2Ba导数gydF4y2BafgydF4y2Ba”(gydF4y2BazgydF4y2Ba)．与实分析不同，如果一个复函数在某个区域可微，那么它的导数在该区域总是可微的，所以gydF4y2BafgydF4y2Ba”(gydF4y2BazgydF4y2Ba)存在。事实上,衍生品gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BangydF4y2Ba）gydF4y2Ba（gydF4y2BazgydF4y2Ba)所有的gydF4y2BangydF4y2Ba= 1,2,3，…存在。更强烈的是，gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BazgydF4y2Ba)有一个gydF4y2Ba幂级数gydF4y2Ba扩张gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BazgydF4y2Ba) =gydF4y2BacgydF4y2Ba0gydF4y2Ba+gydF4y2BacgydF4y2Ba1gydF4y2Ba（gydF4y2BazgydF4y2Ba−gydF4y2BazgydF4y2Ba0gydF4y2Ba) +gydF4y2BacgydF4y2Ba2gydF4y2Ba（gydF4y2BazgydF4y2Ba−gydF4y2BazgydF4y2Ba0gydF4y2Ba）gydF4y2Ba2gydF4y2Ba+⋯⋯有复系数gydF4y2BacgydF4y2BajgydF4y2Ba．这个级数对所有都收敛gydF4y2BazgydF4y2Ba躺在有中心的圆盘上gydF4y2BazgydF4y2Ba0gydF4y2Ba．最大圆盘的半径称为级数的收敛半径。由于这个幂级数的表示，一个可微的复函数被称为gydF4y2Ba分析gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

实分析的初等函数，如多项式、三角函数和指数函数，可以推广到复数。例如，复数的指数定义为gydF4y2BaegydF4y2BazgydF4y2Ba= 1 +gydF4y2BazgydF4y2Ba+gydF4y2BazgydF4y2Ba2gydF4y2Ba/ 2 !+gydF4y2BazgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba/ 3 !+⋯gydF4y2Ba在哪里gydF4y2BangydF4y2Ba！＝gydF4y2BangydF4y2Ba（gydF4y2BangydF4y2Ba2−1)⋯3∙∙1。根据欧拉公式，三角函数和指数函数是有联系的gydF4y2BaegydF4y2Ba我gydF4y2BaθgydF4y2Bacos (θ) +gydF4y2Ba我gydF4y2Ba罪(θ),gydF4y2Ba这些表达是怎么来的gydF4y2Bacos (gydF4y2BazgydF4y2Ba) = (gydF4y2BaegydF4y2Ba我gydF4y2BazgydF4y2Ba+gydF4y2BaegydF4y2Ba−gydF4y2Ba我gydF4y2BazgydF4y2Ba) / 2gydF4y2Basin (gydF4y2BazgydF4y2Ba) = (gydF4y2BaegydF4y2Ba我gydF4y2BazgydF4y2Ba−gydF4y2BaegydF4y2Ba−gydF4y2Ba我gydF4y2BazgydF4y2Ba) / 2gydF4y2Ba我gydF4y2Ba．gydF4y2Ba任何复数都可以写成这种形式gydF4y2BazgydF4y2Ba＝gydF4y2BargydF4y2BaegydF4y2Ba我gydF4y2BaθgydF4y2Ba真实的gydF4y2BargydF4y2Ba≥0和实数θ。在这里gydF4y2BargydF4y2Ba的绝对值(或模量)是gydF4y2BazgydF4y2Ba， θ被称为它的参数。θ的值不是唯一的，但可能的值的差异只是2π的整数倍。因此，复对数是多值的:gydF4y2Ba日志(gydF4y2BazgydF4y2Ba) = log (gydF4y2BargydF4y2BaegydF4y2Ba我gydF4y2BaθgydF4y2Ba) = log |gydF4y2BargydF4y2Ba| +gydF4y2Ba我gydF4y2Ba(θ + 2gydF4y2BangydF4y2Baπ)gydF4y2Ba对于任何整数gydF4y2BangydF4y2Ba．gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba积分gydF4y2Ba在区间[上积分gydF4y2BaCgydF4y2Ba，gydF4y2Ba的gydF4y2Ba∫gydF4y2BaCgydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BazgydF4y2Ba）gydF4y2BadgydF4y2BazgydF4y2Ba解析函数的gydF4y2BafgydF4y2Ba沿着一条曲线(或等高线)gydF4y2BaCgydF4y2Ba在复平面中的定义与实黎曼积分的定义相似。柯西的gydF4y2Ba定理gydF4y2Ba，上面提到，这样一个积分的值对于两个是相同的gydF4y2Ba轮廓gydF4y2BaCgydF4y2Ba1gydF4y2Ba而且gydF4y2BaCgydF4y2Ba2gydF4y2Ba，前提是两条曲线都位于一个单连通区域Ω-a区域内，没有“洞”。当Ω有洞时，积分的值取决于gydF4y2Ba拓扑结构gydF4y2Ba曲线的曲线gydF4y2BaCgydF4y2Ba但不是它的确切形式。本质特征是多少次gydF4y2BaCgydF4y2Ba绕着一个给定的洞旋转——这个数与复对数的多值性质有关。gydF4y2Ba

测度理论gydF4y2Ba

严谨为新基础gydF4y2Ba纪律gydF4y2Ba在19世纪，德国数学家取得了伟大的数学分析成果gydF4y2Ba卡尔·维尔斯特拉斯gydF4y2Ba．然而，现代分析与威尔斯特拉斯时代的分析在许多方面都有所不同，最明显的是抽象的层次。今天的分析是gydF4y2Ba集gydF4y2Ba在各种各样的一般gydF4y2Ba上下文gydF4y2Ba，其中真正的gydF4y2Ba行gydF4y2Ba复平面(在本节中解释gydF4y2Ba复杂的分析gydF4y2Ba)只是两个相当简单的例子。对这些发展的最重要的刺激之一是发明了一个新的和改进的定义gydF4y2Ba积分gydF4y2Ba法国数学家gydF4y2BaHenri-Leon勒贝格gydF4y2Ba约1900人。勒贝格的贡献，使分析的分支被称为测度理论成为可能，将在本节中描述。gydF4y2Ba

在勒贝格的时代，数学家们已经注意到gydF4y2Ba黎曼gydF4y2Ba定义积分的方法。黎曼积分将在本节中解释gydF4y2Ba集成gydF4y2Ba)。许多具有合理性质的函数被证明不具备gydF4y2Ba积分gydF4y2Ba在黎曼的意义上。此外，某些极限过程，当应用于函数序列而不是数字序列时，表现得非常奇怪gydF4y2Ba集成gydF4y2Ba是担心。几位数学家试图开发更好的方法来定义积分，其中最好的是勒贝格的方法。gydF4y2Ba

例如，考虑函数gydF4y2BafgydF4y2Ba定义为gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba) = 0gydF4y2BaxgydF4y2Ba是一个gydF4y2Ba有理数gydF4y2Ba但gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba) = 1gydF4y2BaxgydF4y2Ba是非理性的。什么是合理的价值gydF4y2Ba在区间[上积分gydF4y2Ba0gydF4y2Ba，gydF4y2Ba1gydF4y2Ba的gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba0gydF4y2Ba1gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba）gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba?gydF4y2Ba使用黎曼的定义，这个函数不具有定义良好的积分。原因是，在任何区间内，它都取0和1的值，因此它会在这两个值之间疯狂地上下跳跃。不幸的是，在这个例子中，黎曼积分是基于这样的假设:在足够小的间隔内gydF4y2Ba价值gydF4y2Ba函数的变化很小。gydF4y2Ba

然而，在某种意义上，有理数只占实数的很小一部分。事实上，“几乎所有”实数都是无理性的。具体地说，所有有理数的集合可以被一组区间包围，这些区间的总长度可以任意小。在明确定义的意义上，有理数集合的“长度”为零。这是有充分理由的gydF4y2Ba值gydF4y2Ba在一个长度为零的集合上，矩形不应该影响函数的积分——基于这个集合的“矩形”在任何合理的解释下都应该是零面积。假定如此，如果函数的定义gydF4y2BafgydF4y2Ba当有理数被改变为1而不是0时，它的积分就不应该被改变。然而，得到的函数gydF4y2BaggydF4y2Ba现在有了这个形式gydF4y2BaggydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba) = 1gydF4y2BaxgydF4y2Ba，这个函数具有黎曼积分。事实上,gydF4y2Ba在区间[上积分gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba，gydF4y2BabgydF4y2Ba的gydF4y2Ba∫gydF4y2Ba一个gydF4y2BabgydF4y2BaggydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba）gydF4y2BadgydF4y2BaxgydF4y2Ba＝gydF4y2BabgydF4y2Ba−gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba．gydF4y2Ba勒贝格推断，同样的结果应该适用于gydF4y2BafgydF4y2Ba但他知道，如果用黎曼的方法来定义积分，就不会这样。gydF4y2Ba

勒贝格积分注意，要求和的区域或切片是水平的，而不是垂直的。一个这样的切片，用黄色表示蓝色条底部的(不相交的)集合，它对应于该切片的值范围。gydF4y2Ba

黎曼方法失败的原因gydF4y2BafgydF4y2Ba这就是价值观吗gydF4y2BafgydF4y2Ba振荡gydF4y2Ba在任意小的间隔内疯狂地运动。黎曼的方法依赖于近似a下的面积gydF4y2Ba图gydF4y2Ba通过切片，在垂直方向，成非常薄的切片，如图所示gydF4y2Ba数字gydF4y2Ba．他的方法的问题在于垂直方向:垂直切片允许一个切片内的函数值有很大的变化。因此Lebesgue将图形水平切片(gydF4y2Ba看到gydF4y2Ba数字gydF4y2Ba)．这种切片内的变化不超过切片的厚度，而且可以做得非常小。但是，保持变化小所要付出的代价是gydF4y2BaxgydF4y2Ba的gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba)在给定的水平切片中存在的问题可能非常复杂。例如，对于函数gydF4y2BafgydF4y2Ba定义前,gydF4y2BafgydF4y2Ba（gydF4y2BaxgydF4y2Ba)位于0附近的薄片上gydF4y2BaxgydF4y2Ba在1附近的薄片上是理性的吗gydF4y2BaxgydF4y2Ba是gydF4y2Ba非理性的gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

然而，这样的集合是否复杂并不重要:它应该具有定义良好的概括长度就足够了。图像的这一部分gydF4y2BafgydF4y2Ba对应于给定的水平切片将有一个定义良好的近似区域，通过将决定切片的函数值乘以的集合的“长度”来找到gydF4y2BaxgydF4y2Ba它的函数值在这个切片中。所以勒贝格面临的核心问题根本不是融合本身;它将长度的概念推广到足够复杂的集合。勒贝格做到了。基本上，他的方法是将集合包含在一个区间集合中。由于集合的广义长度肯定小于区间的总长度，因此只需要选择使区间的总长度尽可能小的区间。gydF4y2Ba

这广义gydF4y2Ba概念gydF4y2Ba的长度被称为gydF4y2Ba勒贝格测度gydF4y2Ba．一旦测度建立，就可以定义Lebesgue对黎曼积分的推广，而且它远优于黎曼积分。度量的概念可以相当广泛地扩展——例如，扩展到更高的维度，在那里它可以推广诸如面积和体积这样的概念——导致被称为度量理论的分支。测量理论的一个基本应用是gydF4y2Ba概率gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba统计数据gydF4y2BaKolmogorov在20世纪30年代开创了这一发展。gydF4y2Ba