技术预赛

数据和功能

数字系统

在本文中引用的各种数字系统,也就是数学对象的集合(数字),可以被部分或全部的算术的标准操作:加法、乘法,减法和除法。这样的系统有多种技术名称(例如,集团,环字段),没有工作。然而,这条指示哪些操作适用于感兴趣的主要系统。这些主要系统:

一。自然数ℕ。这些数字是积极的(零)整数0,1,2,3,4,5,…。如果两个数字相加或相乘,结果又是一个自然数。
b。整数ℤ。这些数字是积极的和消极的整个数字…−5−4−3−2−1,0,1,2,3,4,5,…。如果两个这样的数字,减去,或增加,结果是一个整数。
c。有理数ℚ。这些数字是积极的和消极的分数p/问在哪里p和问是整数,问≠0。如果两个这样的数字,减去,增多,或划分(除了0),结果是再一次有理数。
d。实数ℝ。这些数字是积极的和消极的无限小数(包括终止小数,可以认为一个无穷序列的零结束)。如果两个这样的数字,减去,增多,或划分(除了0),结果是再一次实数。
e。复数ℂ。这些数字的形式x+我 y在哪里x和y是真实的数字和我=√√−1。(作进一步的解释,看到一节复杂的分析)。如果两个这样的数字,减去,增多,或划分(除了0),结果是再一次复数。

功能

简而言之,一个函数f是一个数学规则分配一个号码吗x(在一些系统和可能与某些限制它的价值)的另一个号码f(x)。例如,“广场”的功能分配到每个号码x它的平方x²。请注意,这是一般规则,而不是特定的值构成这个函数。

出现的常见功能分析通常由公式,可定义等f(x)=x²。他们包括三角函数sin (x),因为(x)、棕褐色(x)等等;对数函数日志(x);的指数函数exp (x)或e^x(e= 2.71828…是一个特殊的常数被称为自然对数的基础);和平方根函数√√x。然而,单一的公式定义的函数不需要(事实上任何公式)。例如,绝对的价值函数|x|定义x当x≥0但−x当x< 0(≥表示大于或等于和<表示不到)。

连续性的问题

参与建立的逻辑困难微积分在一个良好的基础都是相关的一个核心问题,的概念连续性。这反过来导致问题数量的意义无限大型或无限small-concepts充斥着逻辑陷阱。例如,一个圆的半径r围2πr和区域πr²,π是著名的常数3.14159…。建立这两个属性并不完全直截了当的,虽然适当的方法是由几何学家古希腊,特别是Eudoxus和阿基米德。这比人们所预料的那样,一个圆的周长与半径成正比,其面积正比于它的半径的平方。不过,真正的难题是表明的常数比例周长正是两次的比例常数,是,现在显示常数称为π真的是一样的在这两个公式。这可以归结为证明定理(第一次证明了阿基米德)没有提到π明确:一个圆的面积是一样的一个矩形,一个的方等于圆的半径,另一个圆的周长的一半。

在几何近似

转换成一个圆形区域的近似矩形regionThis表明相同的常数(π)出现在周长的公式,2πr面积的公式,πr2。碎片的数量增加(从左到右)上的“矩形”收敛πr通过r矩形区域πr2-the同一区域的循环。这种近似方法的(复杂)的区域划分成简单的区域可以追溯到古代,重新出现在微积分。

简单的几何参数表明,这样一个平等必须持有高度的近似。这个想法是片圆像个派,到大量的等份,重组形成一个近似矩形的块(看到图)。然后“矩形”是密切的面积近似的高度,等于圆的半径,乘以一个的长度集弯曲的,一起构成1/2圆的周长。不幸的是,由于涉及的近似,这种观点并不证明定理对圆的面积。进一步认为表明片很薄,错误在近似变得非常小。但是仍然没有证明定理,一个错误,但是很小,仍然是一个错误。如果,无穷小的片薄,然而,那么错误就会完全消失,或者至少它将成为无穷小。

实际上,这样的建设存在微妙的问题。理由可以认为,如果无穷小薄切片,然后每个区域为零;因此,加入在一起产生一个矩形零总面积从0 + 0 + 0 +⋯= 0。事实上,这一想法的无穷小数量是自相矛盾的,因为只有数量小于每一个正数是0。

同样的问题出现在许多不同的形式。当计算圆的周长的长度,它是吸引认为圆的无限多的直边的正多边形,每个无穷小长。(事实上,一个圆的极限情况是正多边形的数量增加。)虽然这张照片是有意义的对于一些purposes-illustrating半径处的周长正比于别人是没有意义的。例如,“国”的无限多方面的多边形一定长度为0,这意味着周长是0 + 0 + 0 +⋯= 0,显然无稽之谈。