解析几何

解析几何，也叫几何坐标是一门数学学科，用代数符号和方法来表示和解决几何问题。的重要性分析几何在于它在几何曲线和几何曲线之间建立了对应关系代数方程．这种对应关系使得将几何中的问题重新表述为等效的几何问题成为可能代数，反之亦然;其中一门学科的方法可以用来解决另一门学科的问题。例如，计算机通过操纵代数方程来创建动画，以在游戏和电影中显示。

初等解析几何

佩加的阿波罗尼乌斯（c。262 - 190公元前)，被同时代人称为“伟大的几何学家”，他的著作预示了解析几何1800多年的发展圆锥曲线论．他将圆锥曲线定义为圆锥与平面的交点(看到数字)．使用欧几里德几何学的在相似三角形和圆的割线上，他发现了到任何一点的距离所满足的关系P一条圆锥曲线与两条垂线之间的距离轴圆锥曲线和切在轴的端点。这些距离对应于坐标的P，这些坐标之间的关系对应于a二次方程圆锥曲线的。阿波罗尼乌斯用这个关系推导出了圆锥曲线论．看到圆锥曲线．

坐标系统的进一步发展(看到数字)数学只有在代数在伊斯兰和印度数学家的指导下成熟之后才出现。（看到数学:伊斯兰世界(8 - 15世纪)而且数学，南亚)。16世纪末，法国数学家弗朗索瓦Viete引入了第一个系统的代数符号，用字母表示已知和未知的数值量，他开发了强大的通用方法来处理代数表达式和求解代数方程。有了代数符号的力量，数学家不再完全依赖几何图形和几何图形直觉解决问题。更大胆的人开始抛弃标准的几何思维方式，在这种方式中，线性(一次方)变量对应于长度，平方(二次方)对应于面积，立方(三次方)对应于体积，更高的幂缺乏“物理”解释。两个法国人，一个是数学家兼哲学家勒奈·笛卡尔律师兼数学家皮埃尔·费马他们是第一批迈出这一大胆举措的人。

笛卡尔而且费马他在17世纪30年代独立创立了解析几何，将Viète的代数应用于几何轨迹的研究。他们果断地超越了Viète，用字母表示可变的距离，而不是固定的距离。笛卡尔用方程式来研究曲线几何定义，他强调需要考虑一般的代数曲线-图的多项式方程x而且y各种程度的。他在一个经典问题上演示了他的方法:找到所有点P这样距离的乘积P到某些直线的距离等于到其他直线的距离的乘积。看到几何:笛卡尔几何．

费马强调任何关系x而且y坐标决定了曲线（看到数字)．利用这个想法，他用代数术语重新改写了阿波罗尼乌斯的论点，并恢复了失去的工作。费马指出，任何二次方程x而且y可以化成其中一个圆锥截面的标准形式。

费马没有出版他的作品，笛卡尔故意让他的作品难以阅读，以阻止“涉猎者”。他们的思想只有通过17世纪下半叶其他数学家的努力才得到普遍接受。特别是荷兰数学家弗朗斯·范·斯库滕(Frans van Schooten)将笛卡尔的著作从法语翻译成了拉丁语。他补充说至关重要的解释性材料，法国律师弗罗里蒙德·伯恩和荷兰数学家约翰·德·维特也是如此。在英国，数学家约翰·沃利斯推广解析几何，用方程定义二次曲线并推导它们的性质。他自由地使用负坐标，尽管它是艾萨克·牛顿谁明确地使用两个(斜)轴将平面划分为四个象限，如数字．

解析几何对数学产生了最大的影响微积分．没有解析几何的力量，古典希腊数学家，比如阿基米德（c。285 - 212/211公元前)解决了微积分基本问题的特殊情况:求切线和极值点(微分学)和弧长、面积和体积(积分学)。由于天文学、光学、航海、战争和商业的需要，文艺复兴时期的数学家又重新研究这些问题。他们自然地寻求利用代数的力量来定义和分析越来越多的曲线。

费马发明了一种代数算法求代数曲线在一点处的切线通过求a行这一点与曲线有双重交集——本质上是发明微分学．笛卡尔引入了一个类似但更复杂的算法圆．费马计算曲线下的面积y＝一个x^k对于所有有理数k≠−1。（看到耗尽，方法)。在17世纪剩下的时间里，包括法国人在内的许多数学家继续着微积分的基础工作Gilles Personne de Roberval，意大利人兰西Cavalieri，而英国人詹姆斯·格雷戈里约翰·沃利斯，还有艾萨克·巴罗．

牛顿和德国人戈特弗里德莱布尼兹17世纪末，他独立地展示了微积分的力量，彻底改变了数学。这两个人都使用坐标来发展符号，以充分的普遍性来表达微积分的思想，并自然地导致了微分规则和微积分基本定理(连接差速器和积分微积分)。看到分析．

牛顿证明了解析方法在几何中的重要性，除了它们在微积分中的作用之外，他断言任何三次的三次代数曲线都有四个标准方程之一，xy²+ey＝一个x^3.+bx²+cx+d，xy＝一个x^3.+bx²+cx+d，y²＝一个x^3.+bx²+cx+d，y＝一个x^3.+bx²+cx+d，求合适的坐标轴。苏格兰数学家詹姆斯•斯特林在1717年证明了这一论断，可能是在牛顿的帮助下。牛顿将立方分为72种，后来修正为78种。

牛顿还展示了如何用分数表示原点附近的代数曲线幂级数y＝一个₁x^{1 /k}+一个₂x^{2 /k}+…为正整数k．从那时起，数学家们就用这种技术来研究各种程度的代数曲线。