因子理论

此时出现一个有趣的发展,只要只添加和整数乘法执行,由此产生的数字总是自己整数,同样作为他们的数量先行词。这个特征变化显著,然而,尽快部门介绍了。执行部门(÷象征,读“/”)导致的结果,调用商或分数,这惊人的新kind-namely包括数字,理性的——不是整数。虽然起源于整数的组合,这些明显构成一个不同的自然数的延伸和整数如上定义的概念。通过应用程序的操作,自然数的领域成为扩展和丰富了大大超出了整数(见下文有理数)。

前面的说明的倾向经常与数学思想:相对简单的概念(如整数),最初基于非常具体的操作(例如,计数),发现能够假设小说意义和潜在的用途,远远超越的极限概念最初定义的。基本概念的一个类似的扩展,更加强大的结果,会发现与非理性的介绍(见下文无理数)。

这种模式的第二个例子是由以下几点:在原始指数的定义,k等于零或一个分数,一个^k乍一看,似乎完全没有意义。需要澄清之前写一个重复产品零因素或因素的分数。考虑到情况k= 0,反射显示一个⁰可以,事实上,假设一个完美精确的含义,加上一个额外的和很特别的属性。由于划分的结果,任何数量(非零)本身是1,或团结,接下去一个^米÷一个^米=一个^米−米=一个⁰= 1。不仅能的定义一个^k进行扩展,以包括这种情况k= 0,但随之而来的结果也拥有值得注意的属性,它是独立于特定的(非零)的价值基地一个。类似的论证可以证明一个^k有意义的表达,即使是吗k是负的,即一个^−k= 1 /一个^k。原来的指数的概念扩大到很大程度上。

基础理论

如果三个正整数一个,b,c在的关系一个b=c,据说一个和b因子或因素的c,或者一个分c(写一个|c),b分c。数量c据说是一个多重的一个和一个的倍数b。

1号被称为单元,很明显,1是一个每个正整数的因子。如果c可以表示为一个产品一个b在这一个和b每个大于1的正整数,那么c被称为复合。一个正整数既不是1也不是复合被称为质数。因此,2、3、5、7、11、13、17、19日…都是质数。古希腊数学家欧几里得证明了在他的元素(c。300年公元前)存在无穷多的素数。

的算术基本定理被证明了高斯在他的探讨Arithmeticae。州,每个复合数都可以表示为一个质数的乘积,除了写的顺序因素,这种表示方法是独一无二的。高斯定理遵循,而直接从另一个欧几里德定理主要分裂效应,如果一个产品,那么它也将在产品的因素之一;因为这个原因基本定理是有时认为欧几里德。

对于每一个有限集一个₁,一个₂、…一个_k的正整数,存在一个最大的整数划分每一个数字,叫他们最大公约数(GCD)。如果GCD = 1,数字是互质。还存在一个最小的正整数的每个数字的倍数,叫他们最小公倍数(LCM)。

一种系统化的方法获取肾小球囊性肾病和LCM开始通过分解一个_我(我= 1,2,…k)变成一个质数的乘积p₁,p₂、…p_h,发生的次数,每个不同的'表示问_我;因此, 问题1

肾小球囊性肾病是相乘得到的每个主要发生在每一个在一起一个_我那么多次发生最少的(最小的力量)在所有的一个_我。获得了LCM乘以每个主要发生在任何一个_我那么多次发生最(最大力量)在所有的一个_我。一个例子很容易构建。鉴于一个₁= 3000 = 2³×3¹×5³和一个₂= 2646 = 2¹×3³×7²肾小球囊性肾病= 2¹×3¹= 6和LCM = 2³×3³×5³×7²= 1323000。当只有两个数字,肾小球囊性肾病和LCM的乘积等于产品的原始数据。(看到的表有用的可分性测试。)

	一些可分性规则
	除数		条件
	2		数是偶数。
	3		数字之和能被3整除。
	4		最后两个数字形式很多,数量能被4整除。
	5		数量以0或5。
	6		甚至数量和金额的数字能被3整除。
	8		最后三位数的形式被8整除的数。
	9		数字之和能被9整除。
	10		数量以0。
	11		数的位数之和之间的区别在奇怪的地方,甚至数字的地方要么是0或能被11整除。

如果一个和b两个正整数,一个>b两个整数问和r存在这样的一个=问b+r,r不到b。数量问被称为部分商(商如果r= 0)r被称为余数。使用一个过程称为欧几里得算法,因为肾小球囊性肾病一个和b等于的肾小球囊性肾病b和r,肾小球囊性肾病可以获得没有首先考虑数字一个和b为主要因素。的欧氏算法首先确定的值问和r后,b和r假设的作用一个和b并重复这个过程,直到最后剩下的是零;最后一个积极的余数是肾小球囊性肾病最初的两个数。例如,从544年至119年:

1。544 = 4×119 + 68;
2。119 = 1×68 + 51;
3所示。68 = 1×51 + 17;
4所示。51 = 3×17。

因此,544年和119年的肾小球囊性肾病是17。