变分法

变分法的分支数学关心的问题找到一个函数为一个特定的值积分最大或最小的可能。许多这类问题很容易的状态,但是他们的解决方案通常涉及微分的艰难过程微积分和微分方程。

的等周问题——发现,在所有飞机的给定的周边,一个封闭的地区已知二世纪的希腊数学家公元前。这个词等周问题扩展在现代意味着任何问题的变分法的函数是最大或最小,一个主题辅助条件称为等周的条件,尽管它可能与周边。例如,给定体积的问题找到一个坚实的,至少表面是一个等周问题,给定的体积作为辅助,或等周,条件。场的等周问题的一个例子空气动力学是找到一个坚实的的形状在一个给定的体积,会遇到阻力最小,因为它穿过大气层以恒定速度。

现代变分法的兴趣始于1696年约翰·伯努利瑞士的提议最速降线(“最少”)作为同行的挑战问题。假设一个细线形状的曲线连接两个点在不同的海拔高度。进一步假设一个珠放在更高一点的线,允许滑下重力,从休息和假设没有摩擦。问题是:应该是曲线的形状,这样珠在最短时间内将达到降低点吗?

问题是1696年由约翰·伯努利独立解决,他的兄弟雅各布·伯努利,德国戈特弗里德威廉莱布尼茨法国人Guillaume-Francois-Antoine侯爵洛必达,和英国人艾萨克·牛顿。他们的基本思想是建立一个积分秋天的总时间的未知曲线和变化曲线,然后最少时间。这种技术,典型的变分法,导致微分方程曲线被称为是谁的解决方案摆线。

可以制定各种科学定律的一般原则涉及到微积分的变化。这些被称为变分原理和通常表达的说明一些积分是一个最大值或最小值。一个例子是法国数学家皮埃尔-路易斯莫罗de莫佩提的最小作用原理(c。1744),试图解释所有进程需求的驱动下,一些属性是节省开支或最小化。特别是,最小化一个积分,被称为行动积分,几个数学家(尤其是意大利与法国的领导约瑟夫·路易斯·拉格朗日在18世纪,爱尔兰威廉·罗文汉密尔顿在19世纪)目的论的解释牛顿运动定律。不过,一般升值阻力最小的原则是只与它的使用在1940年代作为基础量子电动力学。

应用变分原理也发生在弹性,电磁理论空气动力学的理论振动和其他在工程和科学领域。