两个物体的扰动和问题
开普勒定律的近似性质
的约束条件力要从牛顿定律推导出开普勒定律，力必须指向一个中心不动的点，而且力必须减小为距离的平方反比。但实际上，作为主力军的太阳并不是固定的，而是因为行星的存在而产生了微小的加速度，这符合牛顿第二定律和第三定律。此外，行星之间相互吸引，所以对a的总力地球不仅仅是因为太阳;其他行星扰乱的椭圆运动如果某一颗行星是唯一绕一颗孤立行星运行的行星，这种情况就会发生太阳．因此，开普勒定律只是近似值。太阳本身的运动意味着，即使忽略了其他行星的吸引力，开普勒第三定律也必须被(米+米我)τ2∝一个3.,在那里米我其中一个行星质量和米是太阳的质量。开普勒定律之所以能很好地近似于实际的行星运动，是因为所有行星的质量都比太阳的质量小。的扰动因此，椭圆运动的系数都很小米+米我≈米为所有的行星质量米我意味着开普勒第三定律非常接近成立。
牛顿第二定律对于特定质量是二阶的微分方程如果要推导物体的位置随时间的函数，就必须解出任何作用在物体上的力。这个方程的精确解，其结果是一个导出的轨迹是一个椭圆，抛物线，或双曲线，取决于假设只有两个点粒子相互作用的平方反比力。因此，这就是“引力”双体问题有一个能重现开普勒定律的精确解。如果一个或多个附加的物体也通过它们之间的相互引力作用与原始物体对相互作用，则任何相关物体的运动微分方程都不能得到精确的解。然而，如上所述，行星的运动几乎是椭圆的，因为与太阳相比，所有涉及的质量都很小。这样，就可以方便地把某一特定行星的运动看作轻微扰动的椭圆运动，并确定行星轨道的变化参数随着时间的推移，由小力引起的椭圆。它是各种精心发展的产物摄动自牛顿时代以来，天体力学家一直在研究天体运动的理论及其应用。
椭圆运动扰动
到目前为止，下列轨道参数，或元素，已用于描述椭圆运动:轨道半长轴一个，轨道离心率e的位置轨道相对于近日点，要么是真异常f,偏心异常u，即平均异常l．还要有三个轨道元件才能使椭圆定向空间，因为这个方向会因为扰动而改变。这些附加参数中最常选择的参数说明在，其中参考平面被任意选择为黄道平面，黄道平面是地球的太阳在天空中运行的轨道。(用于近地人造物体的运动卫星，最方便的参考平面是地球赤道的平面。)角我是倾向轨道平面到参考平面的距离。节点线是轨道平面与参考平面的交点升交点是行星从参考平面以下(南)到参考平面以上(北)的点。的提升节点由其从黄道平面上的参考点(如春分)测量的角度位置来描述;角度Ω被称为上升节点的经度。角ω(称为近日点参数)是在轨道平面上测量的从上升节点到近日点的角距离。
对于二体问题，所有的轨道参数一个，e，我Ω、Ω为常数。第六个常数T,近日点通过时间(即轨道上物体已知处于近日点的任何日期)可以用来代替近日点f，u,或l，行星在其固定椭圆轨道上的位置可以在随后的时间内唯一确定。这六个常数是由方程的三个分量的六个初始条件唯一决定的位置矢量有三个组成部分速度向量相对于坐标系统它相对于参考平面是固定的。当考虑到小扰动时，可以方便地将轨道看作一个瞬时椭圆，其参数由位置和速度矢量的瞬时值定义，因为对于小扰动，轨道近似于一个椭圆。然而，事实上，微扰使六个原来恒定的参数缓慢变化，瞬时扰动轨道被称为密切椭圆;也就是说，紧密椭圆是物体的椭圆轨道如果所有的摄动力都突然消失。
描述六个轨道参数变化的一阶微分方程，可以由质量与轨道参数相等的二阶微分方程，构造出每个行星或天体的一阶微分方程加速度一个物体所受的所有力的总和(牛顿第二定律)。这些方程有时被称为拉格朗日行星方程由伟大的意大利裔法国数学家推导约瑟夫·路易斯·拉格朗日(1736 - 1813)。只要力是保守的不依赖于速度，也就是。，没有损失机械能通过诸如摩擦这样的过程，它们只能由空间坐标函数的偏导数导出，称为势能，其大小取决于质量的相对分离。
在这种情况下所有的力都可以从势能中推导出来，总的能源一个由任意数量的粒子组成的系统。,动能加上势能是常数。的动能单个粒子的能量是其质量的二分之一乘以其速度的平方，总动能是所有所考虑的粒子的这些表达式的和。的能量守恒因此，原理可以用一个方程来表示，这个方程将所有质量的速度与它们在任何时候的位置联系起来。势能在空间坐标上的偏导数转化为a的粒子导数关于拉格朗日方程中轨道元的扰动函数，如果除去所有扰动椭圆运动的物体，扰动函数就消失了。像牛顿的运动方程一样，拉格朗日的微分方程是精确的，但它们只能在计算机上用数值方法求解，或者通过连续逼近来解析。在后一个过程中，扰动函数用a表示傅里叶级数，级数收敛(项的大小和重要性连续减小)取决于轨道的大小怪癖和倾向。巧妙的变量变化和其他数学技巧被用来增加解(也用级数表示)很好地近似于实际运动的时间跨度。这些级数解通常是发散的，但它们仍然能很好地代表有限时间内的实际运动。天国的主要胜利之一力学使用这些摄动技术是发现海王星因为它扰乱了天王星的运动。