的n身体的问题

数值解决方案

精确运动方程的数值解n物体可以被公式化。每个物体都受到其他物体的引力作用，也可能受到其他力的作用。写瞬时表达式是相对容易的加速度如果所有其他物体的位置都是已知的，那么每个物体(运动方程)，所有其他力的表达式(就像引力一样)都可以用粒子的相对位置和粒子及其其他定义特征来表示环境．允许每个粒子在其瞬时加速度下运动一个短时间步长。它的速度和位置因此改变，变量的新值被用来计算下一个时间步的加速度，以此类推。当然，每个时间步后粒子的真实位置和速度与计算值会有两种误差。一种是由于加速度在时间步长上并不是恒定的，另一种是由于在计算的每一步中对数字的舍入或截断。第一类错误通过采取更短的时间步长来减少。但这意味着在给定的时间跨度内必须进行更多的数值运算，这就增加了计算中给定精度的数字的舍入误差。数值设计算法以及精度和步长的选择，以最大限度地提高计算速度，同时将误差保持在合理的范围内，几乎是一种由丰富的经验和创造力发展起来的艺术形式。例如，一个方案存在于推断步长为零，以便在相对较短的时间跨度内找到变量的变化，从而最大限度地减少来自此源的误差积累。如果总数能源系统在理论上是守恒的，它在计算开始和结束时对变量值的计算是累积误差的度量。

行星的运动太阳系随着时间的推移，接近46亿年的年龄是一个经典n-身体问题，在哪里n= 9太阳包括在内。太阳系是否是最终的问题稳定的——行星目前的结构是否会在它们相互的扰动下无限期地保持下去，或者是其中一个或另一个地球最终会从系统中丢失还是以其他方式拥有它轨道彻底改变——是一个长期存在的问题，也许有一天可以通过数值计算来回答。轨道的相互作用共振上面讨论的混沌轨道可以用数值来研究，这种相互作用可能是决定太阳系稳定性的关键。现在看来参数定义几颗行星的轨道在狭窄的混沌地带有所不同，但这是否混乱如果给予足够的时间仍然不确定，可能会导致不稳定。

如果加速度是由所有成对相互作用的总和决定的n粒子，计算机时间每时间步长为n²．因此，直接计算所有粒子之间相互作用的实际计算仅限于n< 10000年。因此，对于较大的值n时，方案用于假定粒子在力场剩下的粒子近似于a连续体质量分布或“树形结构”被使用，其中附近粒子的影响被单独考虑，而随着距离的增加，越来越大的粒子群被集体考虑。这些后来的方案有能力计算一个非常大的粒子系统的演变使用合理的计算机时间和合理的近似。的值n近10万颗被用于计算确定恒星星系的演化。的值n在早期被用于星系形成的计算中宇宙．此外,后果当两个星系接近甚至碰撞时，恒星的分布已经确定。甚至计算n-体问题n在行星形成过程中，小天体通过碰撞积累大天体的研究中，随着时间的变化已经完成。

总共n-身体计算，非常两个粒子的接近会导致加速度如此之大，变化如此之快，以至于引入了很大的误差或计算完全偏离。这种接近方法有时可以保持精度，但代价是需要非常短的时间步长，这会大大减慢计算速度。当n很小，就像在一些两体轨道仍然占主导地位的太阳系计算中一样，近距离接近有时是通过改变一组变量来处理的，通常涉及偏心异常u，在相遇过程中变化要小得多。在这个过程中，称为正则化，遭遇战就是遍历在更少的计算机时间，同时保持合理的准确性。这个过程是不切实际的n是很大的，所以加速度通常被人为地限制在接近的方法，以防止数值计算中的不稳定性，并防止计算变慢。例如，如果几组粒子被困在稳定的、接近的双星轨道上，那么跟随这种快速运动所需的非常短的时间步骤将使计算几乎陷入停顿，而这种双星运动在一个星系的整体演化中并不重要。

代数地图

在数值计算中保守的值适中的系统n在很长的时间跨度内，例如那些寻求确定太阳系稳定性的人，直接求解控制运动的微分方程在任何计算机上都需要过多的时间，并且在这个过程中积累了过多的舍入误差。在数值实验中彻底探索轨道参数的完整范围也需要大量的时间，以便确定各种配置中的混沌区域的程度(例如，小行星带中接近轨道平均运动与木星可比的区域)。这个问题的解决方法是使用代数地图，它将空间将系统变量和自身的值在某一时刻的所有变量都用代数关系表示为变量在过去某一固定时间的值。通过对刚刚获得的值应用相同的映射来确定下一个时间步骤中的值，依此类推。该地图是通过假设所有物体的运动在给定的短时间内都没有受到扰动，但只在瞬间周期性地受到扰动力的“踢”来构建的。连续的扰动因此被周期脉冲所取代。变量的值从一个时间步长“映射”到下一个时间步长，这是因为运动的未扰动部分可以从二体问题的精确解中得到，并且很容易在脉冲的短时间内求解所有扰动的方程。尽管这种近似在未来某一时刻产生的所有变量的值，与以相同初始条件开始的微分方程的数值解所产生的值并不完全相同，但在很长一段时间内，定性行为是不可区分的。由于计算机执行代数计算的速度比求解相应的微分方程快1000倍，计算时间的节省是巨大的，否则不可能探索的问题变得容易处理。