组合
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组合，也叫组合数学，领域数学研究有限系统或离散系统中选择、安排和操作问题的。其中包括与组合密切相关的领域几何．
组合学的一个基本问题是确定可能的组合数(例如,图形，设计，数组)的给定类型。即使指定配置的规则相对简单，有时也会出现枚举强大的困难。数学家可能必须满足于找到一个近似的答案，或者至少是一个好的下限和上限。
在数学中，一般来说，如果一个数学例子满足定义该实体的抽象属性，就说该实体“存在”。从这个意义上说，甚至不存在具有特定属性的单个配置。这就产生了存在和建设的问题。又有一类重要的定理保证在适当条件下存在某些选择假设．除了他们内在有趣的是，这些定理可用作各种组合问题的存在性定理。
最后，还有问题优化．作为一个例子，a函数f，即经济函数，指定数值f（x)到任何配置x具有特定的属性。在这种情况下，问题是选择一种配置x0,最大限度地减少f（x)或使其ε =最小值，即对于任意数ε > 0，f（x0）f（x) + ε，适用于所有配置x，使用指定的属性。
历史
早期的发展
某些类型的组合问题很早以前就吸引了数学家的注意。比如魔方，它是方形的数组属性为行、列和对角线加起来等于相同数字的数字的易经,一本可以追溯到12世纪的中国书公元前．二项式系数，或者说整数系数在(的展开中一个+b）n为12世纪的印度数学家所知Bhāskara，谁在他的LīLā增值税ī(《优雅》)，献给一位美丽的女人，给出了计算它们的规则，并举例说明。“帕斯卡三角形”(Pascal 's triangle)是二项式系数的三角形数组，由13世纪的波斯哲学家nazem īr ad-Dīn a-Ṭūsī教授。
在西方，组合学可以被认为始于17世纪布莱斯•帕斯卡而且皮埃尔·费马他们发现了许多经典的组合结果，与理论的发展有关概率．组合一词最早是由德国哲学家和数学家在现代数学意义上使用的戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在他的组合艺术论文(《论组合艺术》)。他预见了这种新技术的应用前景纪律整个科学领域。瑞士数学家欧拉最终在18世纪建立了真正的组合数学学派。他成为图论之父时，他解决了Königsberg桥问题他关于拉丁方块的著名猜想直到1959年才得到解决。
在英国,阿瑟·凯莱他在19世纪末对枚举图论做出了重要贡献詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特发现了许多组合结果。英国数学家乔治·布尔几乎在同一时间采用了组合方法与发展相联系数理逻辑的组合思想和方法亨利。庞加莱，它是在20世纪早期发展起来的，与n身体，造就了纪律拓扑结构它占据了数学舞台的中心。在19世纪，许多组合问题被作为纯粹的娱乐问题提出，并被命名为“八个女王的问题”和“柯克曼女学生问题”。另一方面，由托马斯·p·柯克曼于1847年开始的三重体系研究雅各布·施泰纳他是瑞士出生的德国数学家，在19世纪50年代开创了数学理论设计．最早专门研究组合数学的书是德国数学家欧根·内托的组合的Lehrbuch(1901);《组合学教科书》)和英国数学家珀西·亚历山大·麦克马洪的著作组合分析(1915-16)，提供了1920年以前存在的组合理论的观点。
20世纪的组合学
许多因素促成了经济增长的加快速度自1920年以来组合理论的发展。其中之一是由英国统计学家罗纳德·费雪和弗兰克·耶茨发展的实验设计统计理论，这引起了许多组合兴趣的问题;最初为解决这些问题而开发的方法已经在编码理论等领域得到应用。信息论，兴起于本世纪中叶，也成为一种全新类型的组合问题的丰富来源。
对组合学重新产生兴趣的另一个原因是图论，它的重要性在于图可以作为许多不同类型的对象集合之间关系图式的抽象模型。它的应用范围延伸到运筹学、化学、统计力学，理论物理和社会经济问题。交通网络理论可以看作是有向图理论的一个章节。四色问题(见下文)是最具挑战性的理论问题之一，属于图论领域。它也适用于数学的其他分支，如群理论．
20世纪下半叶计算机技术的发展是人们对有限数学，特别是组合理论产生兴趣的主要原因。组合问题不仅出现在数值分析而且在计算机系统的设计和计算机在诸如信息存储和检索等问题上的应用。
统计力学是组合问题最古老和最富有成效的来源之一。自20世纪中期以来，应用数学家和物理学家已经完成了许多重要的组合工作——例如，关于Ising模型的工作(见下文)Ising问题）.
在纯数学中，组合方法在这方面有优势多样化的场是概率，代数(有限群和有限场，矩阵晶格理论)，数论(差异),集理论(斯伯纳定理)和数理逻辑(拉姆齐定理)。
与范围广泛的组合问题和为解决这些问题而设计的方法的多样性相比，缺乏一个统一的中心理论。然而，统一原则和交叉联系已经开始出现在组合理论的各个领域。寻找一个潜在的在20世纪的最后25年里，数学家们面临着一个挑战，即如何以某种方式表明组合数学的不同部分是如何交织在一起的。