组合几何
组合的名字几何最初由瑞士数学家雨果·哈德威格使用，并不能很准确地描述这门学科的性质。组合几何确实涉及几何的那些方面，处理几何对象的排列、组合和枚举;但它吸收的更多。这个领域是如此的新，以至于几乎没有时间让它在数学界获得一个明确的位置。相反，它倾向于重叠部分拓扑结构(尤其是代数拓扑)，数论,分析，当然，还有几何。这门学科关注的是有限几何图形系统的成员之间的关系，这些系统受到各种条件和限制。更具体地说，它包括覆盖、填充、对称、极值(极大值和极小值)、连续性、切线、等式和不等式，其中许多特别强调它们在凸体理论中的应用。组合几何的一些基本问题起源于牛顿和欧拉。然而，该领域的大多数重大进展都是在20世纪40年代以来取得的。
统一的方面不同的题目是问题的性质或风格或精神，以及对付这些问题的方法。在这些分支中数学使认真工作的数学家感兴趣的是，组合几何是少数几个分支之一，可以在直观的基础上提出，而不需要研究者求助于任何先进的理论考虑或抽象。
然而，这些问题远非微不足道，许多问题仍未得到解决。它们只能在最仔细和最微妙的推理的帮助下处理，这显示了几何方法在现代环境中的多样性和活力。有些答案是自然的，是由问题直观地暗示出来的。然而，其他许多问题，即使在二维情况下，也需要具有不同寻常的独创性和深度的证明。有时一个平面解可能很容易扩展到更高的维度，但有时恰恰相反，三维解或n一维问题可能与二维问题完全不同。每个新问题都必须单独解决。这门学科之所以具有持续的魅力和挑战性，至少部分原因是它的陈述相对简单，加上了难以捉摸的解的性质。
组合几何的一些重要历史课题
包装而且覆盖
很容易看出，六个相等的圆形圆盘可以围绕着另一个相同大小的圆盘，因此中心的圆盘与其他所有圆盘接触，但没有两个重叠()，并且不可能以这样的方式放置七个磁盘。在类似的三维情况下，在一个给定的球(实心球体)周围，可以放置12个大小相等的球，所有球都接触第一个球，但不重叠。一种这样的安排可以通过将周围的12个球放置在包围中心球的合适立方体的边缘中点来获得;然后，12个球中的每一个都接触到除了中心的球之外的其他四个球。但如果这12个球都集中在12顶点在给定的球周围有一个合适的正二十面体，每个球与其相邻球之间都有相当大的自由空间。(如果球体的半径为1，则周围球体中心之间的距离至少为2/cos 18°= 2.1029···)因此，通过明智的定位，它似乎是有可能的13个相等的不重叠的球体接触另一个相同大小的球体。12和13之间的两难，组合几何中第一个非平凡问题之一，是他们讨论的对象艾萨克·牛顿和大卫·格雷戈里在1694年。牛顿认为12是正确的数字，但这一说法直到1953年才被证明。类似的问题是四维空间在2003年被解决了，答案是24。
13个球的问题是组合几何中处理填料和覆盖物的分支的一个典型例子。在包装问题中，目标是将给定形状或大小的图形尽可能经济地放置在另一个给定图形中，或者受到其他一些限制。
包装和覆盖的问题一直是许多研究的对象，有些引人注目结论已获取。对于每个平面凸集K，例如，可以安排不重叠的翻译K以覆盖至少三分之二的平面;如果K是一个三角形(仅在这种情况下)，任何不重叠的平移排列都不能覆盖超过平面的三分之二()。另一个著名的问题是开普勒猜想，这个猜想涉及到最密集的球体。如果球体以炮弹的方式堆积——也就是说，以炮弹堆积成无限延伸的三角形金字塔的方式——那么它们就填充了π/的平方根√18约占空间的0.74。1611年，这位德国天文学家约翰尼斯·开普勒推测这是可能的最大密度，但直到1998年才被美国数学家托马斯·黑尔斯证明。
覆盖问题以类似的方式处理给定数字的放置，以便覆盖(即包含在它们的联合中)另一个给定数字。法国数学家亨利·勒贝格(Henri Lebesgue)在1914年提出的一个著名的覆盖问题至今仍未解决:物体的大小和形状是什么最小面积的通用覆盖?这里是凸集C如果是每一套都叫万能盖一个在这样的平面上一个1 .移动是可能的C到它所覆盖的合适位置一个．的直径直径一个一组的一个定义为集合中点之间相互距离的最小上界一个．如果一个是一套紧凑的，那么diam一个是任意两点之间的最大距离吗一个．因此,如果一个等边三角形的边是1，那么直径是多少一个= 1;如果B一个立方体的边长是1，直径是多少B＝的平方根√3.．