组合几何的方法

精疲力尽的可能性

使用数据可用性的有关问题在调查中,人们往往可以获得所有潜在的列表,先天的可能的解决方案。最后一步就在于消除的可能性不实际的解决方案或重复先前发现的解决方案。一个例子是证明只有5个常规凸多面体(柏拉图式的固体),这些五的决心。

从规律性的定义很容易推断出所有的面孔柏拉图式的固体,必须相等的常规的k-gons为一个合适的k,所有的顶点都必须属于同一个号码j的k-gons。因为脸角之和一个凸多面体的顶点小于2π,因为每个角的k百分度(k−π/ 2)k,接下去j(k−π/ 2)k< 2π,或者(j−2)(k−2)< 4。因此,唯一可能对(j,k)(3),(3、4),(3、5)(4,3)和(3),它可能是验证的,每对对应于一个正多面体,即四面体,多维数据集,十二面体,八面体,分别和二十面体。非常相似的参数可用于阿基米德固体和在其他情况下的决心。

最严重的方法的缺点是,在许多情况下潜在的(或实际的)解决方案的数量是如此之大,使该方法不可行。因此,有时这些数字的准确测定的方法讨论了是不可能的,当然如果试图用手甚至可能借助电脑。

利用极值性质

在许多情况下,存在一个图或与某些所需的属性可能会建立了考虑更一般的问题(或一个完全不同的问题)和显示解决方案的一般性问题极值在某种意义上也提供了解决原来的问题。经常似乎有很少的最初的问题和极值问题之间的联系。作为一个说明以下定理将证明:如果K是一个二维紧凸集的中心对称,存在一个平行四边形P包含K,这样双方的中点P属于K。证明收益如下:所有的平行四边形,包含K,面积最少的一个标记P₀。这样的存在P₀是一个紧密的结果K并可能建立的标准参数。它也可以很容易地看到的中心K和P₀一致的。有趣的方面的情况P₀可能作为吗P所需的定理。事实上(图10),如果中点一个′和一个两侧的一对P₀不属于K,可以严格区分他们K由平行线l′和l一起,另一双的P₀,确定一个新的含平行四边形K但随着面积比小P₀。上面的定理及其证明立即推广到多维度,导致的结果是很重要的功能分析。

有时这种类型的参数是用于反向建立某些对象的存在可以反证的存在一些极值数据的可能性。例如以下问题的解决方案可以提到西尔维斯特上面所讨论的。通过一个标准的观点射影几何(对偶),很明显,西尔维斯特的问题等价于一个问题:如果通过的任何两个交点n共面线,没有两个是平行的,第三,有n一定行并发吗?表明他们必须并发,矛盾可以来源于假设他们不并发。如果l的行,然后并不是所有的交集点躺在l。在没有交集点l,必须有一个最近的l,它可以调用一个。通过一个通过至少三行,满足l在点B,C,D,所以C之间的是B和D。通过C通过一项行l*不同l和线一个。自l*进入三角形一个BD,它相交的部分一个B或部分一个D,屈服一个十字路口靠近点l比所谓的最近的交点一个,因此提供的矛盾。

在应用这种方法的困难导致部分没有任何系统的程序设计一个极值问题导致原始问题的解决方案。

使用不同的空间之间的转换和赫勒定理的应用

组合几何证明的方法可能说明在一个关于平行段一个定理的证明。让段我_我端点(x_我,y_我)和(x_我,y′_我),y_我y′_我和我= 1,2,n。的情况下,两段一行很容易处理;所以它可能是假定x₁,x₂,,x_n都是不同的。与每一个直线y=一个x+b在(x,y)飞机可以关联一个点(一个,b)在另一个平面上,(一个,b)飞机。现在,对于我= 1,2,n所有这些点的组成(一个,b相应的行)y=一个x+b在(x,y)飞机符合段我_我可以表示通过K_我。这种情况意味着y_我一个x_我+by′_我所以每组K_我是凸的。一条直线相交的存在三个部分我_我意味着相应的设置K_我有一个共同的观点。然后赫勒的定理(一个,b)飞机意味着存在一个点(一个*,b*)共同集K_我。这反过来又意味着线y=一个*x+b*符合所有段我_我,我₂,,我_n和定理的证明D就完成了。

除了上面的方法说明,许多其他技术用于组合几何证明,从简单的数学归纳法来复杂的的可判定性定理形式逻辑。可用各种方法和有更多的可能性还没有发明继续刺激的在这个快速发展的研究分支数学。