多面体
(凸)多面体凸包的一些有限的集的点。每一个多面体的维度d有许多多面体面临有限的维度0(顶点),1(边缘),2(2张脸),,d1(方面)。二维多面体通常称为多边形,三维的多面体。两个多面体是同构的,或相同的组合类型,提供之间存在着一一对应,这样两面的第一个多面体满足当且仅当相应的面临的第二次见面。棱镜和截棱锥同构,在顶点对应显示的字母。凸多边形的组合类型进行分类,它足以确定顶点υ的数量;为每个υ≥3,所有与υ多边形顶点(υ-gons)相同的组合类型,而υ-gon和υ′gon不同构υ≠υ′。欧拉是第一个调查1752年类似的问题关于多面体。他发现υ−e+f为每个凸= 2多面体,υe,f是顶点的数量、边缘和多面体的面孔。虽然这个公式的一个起点拓扑结构,欧拉没有成功他试图找到一个分类方案为凸多面体或确定为每个υ不同类型的数量。尽管工作以来的许多著名的数学家欧拉(施泰纳,教徒,凯莱,爱马仕,布鲁克纳,更别提只有少数从19世纪),问题仍然是开放的多面体有超过19顶点。不同类型的数量与4、5、6、7或8个顶点1、2、7,34岁,到257年,分别。成立由美国数学家P.J.费德里科•1969年,有2606种不同的组合类型的凸多面体与九个顶点。不同类型18顶点的数量超过107万亿。
凸多面体理论已经成功地在其他方向发展。常规的多面体自1880年以来一直接受调查维度高于三,一起欧拉与更高维度的延伸。(瑞士尺蠖路德维希Schlafli发现了许多这样的大约30年前,但是他的工作在死后才出版于1901年。)定期多面体和其他特殊多面体的兴趣可以追溯到古希腊显示的名称柏拉图式的固体和阿基米德固体。
自1950年以来已经有相当大的兴趣,部分由计算机等技术相关的实际问题线性规划以下类型的问题:给定尺寸的多面体d和有一个给定的数字υ的顶点,多大和多小的数量方面可以吗?这样的问题提供了很好动力的发展理论。美国数学家维克多·l·克利在1963年解决了最大的问题在大多数情况下(也就是说,只有有限数量的υ的d),但其余病例被p·麦克伦处置仅在1970年,美国用一个全新的方法。
发病率的问题
在1893年,英国数学家J.J.西尔维斯特提出一个问题:如果一个有限集合年代点在平面上的属性行由两个点年代至少满足一个点年代必须的所有点年代在一行吗?西尔维斯特从来没有找到一个令人满意的解决问题的办法,第一个(肯定)解决方案发表以后半个世纪。从那时起,西尔维斯特的问题激发了许多调查和导致许多其他的问题,在飞机和更高的维度。
赫勒定理
1912年奥地利数学家爱德华·赫勒证明以下定理在许多地区,由于发现应用程序几何和分析导致了无数的概括,扩展和类似物被称为Helly-type定理。如果K1,K2,,Kn在凸集d维空间欧氏空间Ed,在这n≥d+ 1,如果每一个选择d+ 1集K我存在一个点属于所有的选择集,那么存在一个点属于所有的设置K1,K2,,Kn。这个定理在两个维更容易想象而不是力量的缺失:如果每三组n凸数据平面上有一个公共点(不一定是同一点三人小组),那么所有n数据有一点共同之处。例如,如果凸集一个,B,C有一点p共同点和凸集一个,B,D有一点问共同点,集一个,C,D有一点r共同点,集B,C,D有一点年代共同点,然后x是一个成员一个,B,C,D。
尽管连接往往远离明显,许多后果可能是来自冥界的定理。其中有以下,说明d= 2和一些高维类似物在方括号表示:
答:两个有限子集X和Y飞机(d讨论]可能是严格分开的一个合适的直线(超平面)当且仅当,每集Z组成的最多4 (d从+ 2)点X∪Y的点X∩Z可能是严格分开的吗Y∩Z。(一条线(超平面)l严格区分X和Y如果X包含在一个开放的飞机一半(一半空间)所决定的吗l如果Y包含在另一个。)
每一个紧凑的凸集K在平面上(d讨论]包含一个点P使用以下属性:每个和弦的K包含P除以P成段的数量比他们的长度是最多2d。
c如果G飞机是一个开放的子集(d讨论)有限的区域(d维内容),那么存在一个点P,这样每个开放半平面半空间包含P也包含了至少1/3 [1 / (d+ 1)]的[d的内容)G。
d .如果我1,,我n段平行y设在在一架飞机坐标系统(x,y),如果对于每一个选择的三段存在一条直线相交的三个部分,那么存在一条直线相交的所有部分我1,,我n。
定理D的概括k届学位多项式曲线y=一个kxk+···一个1x+一个0直线和取代k+ 2取代3的假设。这些都是重要的函数的最佳逼近多项式的理论。