费勒图gydF4y2Ba

许多结果分区可以得到使用gydF4y2Ba费雷尔的图gydF4y2Ba。的图gydF4y2Ba分区gydF4y2Ba通过放下一排方格同等数量最大的一部分,然后立即在它下面一排方格的数量相等的下一部分,等等。这样的图14 = 5 + 3 + 3 + 2 + 1所示gydF4y2Ba图1gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

通过旋转的费雷尔的图gydF4y2Ba分区gydF4y2Ba对角线,可以获得的分区gydF4y2BangydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba+gydF4y2BaxgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba+⋯+gydF4y2BaxgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba的gydF4y2Ba共轭分区gydF4y2BangydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba* +gydF4y2BaxgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba* +⋯gydF4y2BaxgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba*,gydF4y2BaxgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba*是部分原始分区的数量基数gydF4y2Ba我gydF4y2Ba或者更多。因此,共轭14已经给定的分区是14 = 5 + 4 + 3 + 1 + 1。因此,获得以下结果:gydF4y2Ba

(FgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba)的分区数gydF4y2BangydF4y2Ba成gydF4y2BakgydF4y2Ba部分等于分区的数量gydF4y2BangydF4y2Ba与gydF4y2BakgydF4y2Ba作为最大的部分。gydF4y2Ba

其他结果获得通过使用费雷尔的图是:gydF4y2Ba

(FgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba)自共轭的分区的数量gydF4y2BangydF4y2Ba=分区的数量gydF4y2BangydF4y2Ba不平等的所有部分和奇怪。gydF4y2Ba

(FgydF4y2Ba_3gydF4y2Ba)的分区数gydF4y2BangydF4y2Ba为不平等的部分等于分区的数量gydF4y2BangydF4y2Ba到奇怪的地方。gydF4y2Ba

生成函数可以用于优势研究分区。例如,它可以证明:gydF4y2Ba

(GgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba)生成gydF4y2Ba函数gydF4y2BaFgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2BaPgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba),分区的数量的整数gydF4y2BangydF4y2Ba的产物gydF4y2Ba倒数gydF4y2Ba的类型(1−gydF4y2BaxgydF4y2Ba^kgydF4y2Ba),对所有正整数gydF4y2BakgydF4y2Ba,约定gydF4y2BaPgydF4y2Ba(0)= 1gydF4y2Ba

。gydF4y2Ba

(GgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba)生成函数gydF4y2BaFgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)的分区的数量gydF4y2BangydF4y2Ba为不平等的部分是一个产品的术语(1 +gydF4y2BaxgydF4y2Ba^kgydF4y2Ba),对所有正整数gydF4y2BakgydF4y2Ba

。gydF4y2Ba

(GgydF4y2Ba_3gydF4y2Ba)生成函数gydF4y2BaFgydF4y2Ba_3gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)的分区的数量gydF4y2BaxgydF4y2Ba组成的残留物是倒数的产物的类型(1−gydF4y2BaxgydF4y2Ba^kgydF4y2Ba),对所有积极的奇数gydF4y2BakgydF4y2Ba

。gydF4y2Ba

从而证明(FgydF4y2Ba_3gydF4y2Ba)有必要只显示描述的生成函数(GgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba)和(GgydF4y2Ba_3gydF4y2Ba)是相等的。该方法用欧拉。gydF4y2Ba

包含和排除的原则:gydF4y2Ba紊乱gydF4y2Ba

为有一个案例gydF4y2BaNgydF4y2Ba对象和gydF4y2BangydF4y2Ba属性gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_2gydF4y2Ba,···gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_ngydF4y2Ba,这个数字gydF4y2BaNgydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_2gydF4y2Ba),例如,将拥有的属性的对象的数量gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_2gydF4y2Ba。如果gydF4y2BaNgydF4y2Ba(gydF4y2BaĀgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,gydF4y2BaĀgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba,,gydF4y2BaĀgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba)是对象拥有的属性的数量gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_2gydF4y2Ba,,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_ngydF4y2Ba,那么这个数字可以计算为一个gydF4y2Ba交替gydF4y2Ba笔金额涉及对象拥有的属性的数量gydF4y2Ba

这是gydF4y2Ba包含和排除西尔维斯特表达的原则。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba排列gydF4y2Ba的gydF4y2BangydF4y2Ba元素取代每个对象被称为错乱。排列本身可能是对象和属性gydF4y2Ba我gydF4y2Ba可能是财产,排列并不取代gydF4y2Ba我gydF4y2Bath元素。在这种情况下,gydF4y2BaNgydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2Ba!和gydF4y2BaNgydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_2gydF4y2Ba)= (gydF4y2BangydF4y2Ba−2)!,for example. Hence the numberDgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba可以证明是近似的紊乱gydF4y2BangydF4y2Ba! /gydF4y2BaegydF4y2Ba

这个数字是第一个通过欧拉。如果gydF4y2BangydF4y2Ba人员检查他们的帽子在一个餐厅,如果服务员失去了检查和随机返回hats,机会没有人接收自己的帽子gydF4y2BaDgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba/gydF4y2BangydF4y2Ba!=gydF4y2BaegydF4y2Ba^{−1gydF4y2Ba}约。令人惊奇的是,近似的答案是独立的gydF4y2BangydF4y2Ba。六位小数,gydF4y2BaegydF4y2Ba^{−1gydF4y2Ba}= 0.367879。当gydF4y2BangydF4y2Ba= 6,gydF4y2Ba错误gydF4y2Ba近似小于0.0002。gydF4y2Ba

如果gydF4y2BangydF4y2Ba表示为权力的产物的主要因素gydF4y2BapgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba,gydF4y2BapgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba,…gydF4y2BapgydF4y2Ba_kgydF4y2Ba,如果对象是小于或等于的整数gydF4y2BangydF4y2Ba,如果gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_我gydF4y2Ba是被整除的性质gydF4y2BapgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba,然后西尔维斯特的公式,为整数的数量不足gydF4y2BangydF4y2Ba和主要的函数gydF4y2BangydF4y2Baϕ写(gydF4y2BangydF4y2Ba),组成的一个产品gydF4y2BangydF4y2Ba和gydF4y2BakgydF4y2Ba因素的类型(1−1 /gydF4y2BapgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba)gydF4y2Ba

。gydF4y2Ba

函数ϕ(gydF4y2BangydF4y2Ba)是gydF4y2Ba欧拉函数。gydF4y2Ba

聚(定理gydF4y2Ba

应gydF4y2Ba项链的gydF4y2BangydF4y2Ba珠子的gydF4y2Ba无限gydF4y2Ba供应的珠子gydF4y2BakgydF4y2Ba不同的颜色。许多不同的项链,gydF4y2BacgydF4y2Ba(gydF4y2BangydF4y2Ba,gydF4y2BakgydF4y2Ba),可以的gydF4y2Ba互惠gydF4y2Ba的gydF4y2BangydF4y2Ba次之和的ϕ类型(gydF4y2BangydF4y2Ba)gydF4y2BakgydF4y2Ba^{ngydF4y2Ba/gydF4y2BadgydF4y2Ba}对所有因子,求和的gydF4y2BadgydF4y2Ba的gydF4y2BangydF4y2Baϕ是欧拉函数gydF4y2Ba

。gydF4y2Ba

虽然项链似乎的问题gydF4y2Ba无聊的gydF4y2Ba上面给出的公式可用于解决一个困难的问题在李代数理论,现代物理学中一些重要。gydF4y2Ba

一般问题的项链是一个特例的问题是解决美国匈牙利出生的数学家gydF4y2Ba乔治聚在著名的1937年的回忆录中,他组织之间建立连接,图和化学键。它被应用到枚举问题在物理,化学,和gydF4y2Ba数学gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba默比乌斯变换定理gydF4y2Ba

1832年,德国天文学家和数学家gydF4y2Ba8月费迪南德莫比乌斯gydF4y2Ba证明,如果gydF4y2BafgydF4y2Ba和gydF4y2BaggydF4y2Ba函数定义在吗gydF4y2Ba集gydF4y2Ba正整数的gydF4y2BafgydF4y2Ba评估在gydF4y2BaxgydF4y2Ba是一笔gydF4y2Ba值gydF4y2Ba的gydF4y2BaggydF4y2Ba评价因子的gydF4y2BaxgydF4y2Ba,然后反向gydF4y2BaggydF4y2Ba在gydF4y2BaxgydF4y2Ba可以评估一笔涉及gydF4y2BafgydF4y2Ba评价因子的gydF4y2BaxgydF4y2Ba

1964年,美国数学家gydF4y2BaGian-Carlo轮值表中获得一个强大的泛化gydF4y2Ba定理gydF4y2Ba,提供一个枚举的基本统一原则。的一个结果gydF4y2Ba轮值表定理如下:gydF4y2Ba

如果gydF4y2BafgydF4y2Ba和gydF4y2BaggydF4y2Ba是函数定义在有限集的子集gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,这样gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)是一个术语gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba),gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba是的一个子集gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,然后gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)可以表达的gydF4y2BafgydF4y2Ba

特殊问题gydF4y2Ba

尽管枚举已经描述的一般方法,有许多问题,他们不适用,因此需要特殊gydF4y2Ba治疗gydF4y2Ba。下面将描述其中两个,其他人将在本文中进一步得到满足。gydF4y2Ba