微分几何

微分几何的分支数学研究的几何曲线,表面,集合管(高维类似物表面)。的纪律欠它的名字从微分思想和技术的使用微积分,尽管现代主题经常使用代数和纯粹的几何技术代替。虽然基本定义、符号和分析描述相差很大,以下几何占上风的问题:如何来衡量曲率的曲线内表面(内在的)与内包括空间(外在)?表面的曲率怎么能测量吗?什么是两点之间最短路径在一个表面表面上?如何在一个表面上的最短路径的概念直接相关吗行吗?

而曲线研究自古以来,微积分的发现在17世纪开放的研究更复杂的平面curves-such由法国数学家勒奈·笛卡尔(1596 - 1650)和他的“指南针”(看到几何的历史:笛卡尔几何)。特别是,积分学导致发现的古老问题的一般解决方案平面曲线的弧长、平面图形的面积。这反过来打开阶段在空间曲线和表面的调查调查的开始微分几何学。

微分几何的一些基本思想可以说明了列板,由工程师设计的螺旋带经常给烟囱等大型金属圆筒结构支持。板可以切割形成的一个环形带(两个同心圆之间的区域)的钢,然后弯曲成一个螺旋,螺旋的油缸,见图。该半径r环的生产最适合?微分几何提供了解决这个问题通过定义一个精确的测量曲线的曲率;然后r可以调整,直到在环边缘的曲率匹配螺旋的曲率。

一个重要的问题是:环形地带可以弯曲,没有伸展运动,这样就形成了一个列板在汽缸?特别是,这意味着距离测量表面(内在)不变。两个表面说等距如果可以弯曲(或改变)到其他不改变内在距离。(例如,因为一张纸可以卷成管没有拉伸,板和管是“本地”isometric-only本地,因为新的、甚至更短,路线是由连接两条边的纸)。因此,第二个问题就变成:列板的环形地带和等距吗?要回答类似的问题,微分几何发达的表面曲率的概念。

弯曲的曲线

虽然从古代数学家已经描述了一些曲线弯曲的比其他人更和直线不弯曲,这是德国数学家戈特弗里德莱布尼兹1686年,第一个定义曲线上每一点的曲率的最接近的圆曲线。莱布尼茨命名他的近似圆(如所示图)密切圆这个词来自拉丁语osculare(“吻”)。然后他定义曲线的曲率(圆)¹/_r,在那里r是密切圆的半径。随着曲线变得更直,一圈必须使用大半径的近似,所以得到的曲率减小。在极限情况下,直线据说是相当于一圈无限曲率半径及其定义为零。唯一的曲线在普通欧氏空间与常曲率直线、圆和螺旋线。在实践中,发现曲率公式,给出了速度变化,或导数,曲线的切线是一个沿着曲线移动。发现了这个公式艾萨克·牛顿和莱布尼茨平面曲线在17世纪和瑞士数学家欧拉在18世纪的曲线空间。(注意,导数切线的曲线是不一样的二阶导数研究了微积分,它的变化率作为一个移动沿着曲线的切线x设在)。

有了这些定义,现在可以计算出理想的内半径r的环形地带进入中显示的列板图。环形带的内在曲率¹/_r必须等于气缸上的螺旋的曲率。如果R圆柱体的半径和吗H的高度是一个螺旋,螺旋的曲率是4π²R/ (H²+(2πR)²]。例如,如果R= 1米,H= 10米r= 3.533米。