曲率的表面

测量曲率表面的一个点,欧拉,1760年,看着横截面的表面由平面包含了行垂直的表面(或“正常”)在点(看到图)。欧拉叫这些横截面的曲率法曲率的表面点。例如,在一个正确油缸的半径r垂直的横截面是直线,因此零曲率;水平横截面是圆,曲率1/r。正常的曲率点在一个表面上通常是不同的在不同的方向。正常最大和最小曲率的表面上的点被称为校长(正常)曲率,这些正常的曲率方向发生被称为主要的方向。欧拉证明对于大多数表面正常的曲率不是常数(例如,缸),这些主要的方向是相互垂直的。(注意,在一个球所有正常的曲率是相同的,因此主曲率)。这些主要正常的曲率的表面是“弯曲”。

表面的理论和主要正常的曲率是广泛由法国领导的几何学家蒙日加斯帕德(1746 - 1818)。这是在1827年的论文,但是,德国数学家卡尔•弗里德里希•高斯大突破,允许的微分几何回答上面提出的问题列板的环形地带是否等距。表面点的高斯曲率的定义是两个主要的产品正常的曲率;据说是正的,如果主要正常的曲率曲线在同一个方向,-如果他们曲线在相反的方向。正常曲率平面都是零,因此飞机的高斯曲率为零。圆柱体的半径r,最低法曲率为零(沿垂直直线),和最大1/r(沿水平圆)。因此,一个圆柱体的高斯曲率也是零。

如果缸沿垂直的直线,由此产生的表面可以平(没有拉伸)到一个矩形。在微分几何,平面、圆柱体据说是本地等距。这些都是两个重要的定理的特殊情况:

• 高斯的“非凡的定理”(1827)。如果两个光滑的表面是等距,那么两个表面有相同的高斯曲率在对应点。(虽然定义了外在的,高斯曲率内在概念)。
• 想着定理(1839)。两个光滑(cornerless)表面相同的常数高斯曲率局部等距。

作为推论这些定理:

• 一个表面常积极的高斯曲率c已经在本地一样的内在几何球体的半径√√1/c。(这是因为一个球体的半径r有高斯曲率1/r²)。
• 表面与常数零高斯曲率在本地一样的内在几何平面。(表面被称为可展)。
• 恒负高斯曲率的表面c已经在本地一样的内在几何双曲平面上。(看到 非欧几里得的几何学。)

高斯曲率的环形地带(飞机)不断为零。所以回答是否环形条等距列板,您只需检查板是否有常数零高斯曲率。的高斯曲率板实际上是消极的,因此必须stretched-although环形带可以最小化这个缩小的形状。

最短路径在一个表面上

从外部或外在的角度来看,不直的曲线在一个球体。然而,大圈是一个伟大的内在straight-an蚂蚁爬行圆不转或曲线的表面。大约1830名爱沙尼亚数学家费迪南德想着曲线在一个表面上是一个定义测地线如果它本质上是直接,如果没有可识别的曲率的表面。微分几何的主要任务是确定一个表面上的测地线。大圈是一个球体上的测地线。

一个伟大超过半圈的圆弧是本质上直球,但不是其端点之间最短的距离。另一方面,在一个表面的最短路径并不总是直线,如图所示图。一个重要的定理:

在一个表面上是完整的(每个测地线可以无限期地延长)和光滑,每一个最短曲线本质上是连续的,本质上直曲线附近的点之间的最短的曲线。