初等代数

初等代数的分支数学处理的一般属性数量和它们之间的关系。代数是基本不仅进一步数学和统计数据但对自然科学,计算机科学,经济学和业务。除了写作,这是一个基石现代科技文明。civilizations-Babylonian早些时候,希腊,印度,中国,Islamic-all贡献在初等代数的重要发展方式。这是留给欧洲文艺复兴时期,代表所有开发一个高效的系统实数和代表未知的象征意义,它们之间的关系,和操作。

初等代数涉及下列主题:

1. 真实的,复数、常量和variables-collectively称为代数数量。
2. 操作规则等。
3. 这样的数量的几何表示。
4. 的形成涉及代数量的表达式。
5. 等操纵规则表达式。
6. 形成句子,也称为方程,涉及代数表达式。
7. 解决方程和系统的方程。

代数数量

代数的主要特点是使用简单的符号来代表数值和数学运算。后系统起源于17世纪法国思想家勒奈·笛卡尔附近,信件的开头字母(一个,b,c,…)通常表示,但任意数量的问题,而字母表的字母接近尾声,特别是x,y,z,代表未知的数量,或变量。+和−迹象表明这些量的加法和减法,但乘法只是表示相邻信件。因此,一个x代表的产物一个通过x。这个简单的表达式可以解释,例如,一年的利息收入的总和一个美元投资的年增长率x。它也可以解释为距离一个小时的车在移动x英里每小时。这种灵活性使代数表示其伟大的效用。

另一个功能,大大增加了代数的应用范围是代数的几何表示数量。例如,代表实数,一条直线是想象无限在两个方向。任意点O可以选为原点,代表0,和另一个任意点吗U选择的权利O。这个部分OU(或点U),那么代表了单位长度或数量1。其余的正数对应这个单位长度2的倍数,例如,由线段表示OV,只要两倍OU和扩展方向相同。同样,负实数扩展的左边O。一条直线的点是与真实的数字被称为数轴。许多早期的数学家们意识到有一个直线上的所有点之间的关系和所有实数,但它是德国数学家理查德绰金谁做了这个显式的作为一个在他的假设连续性和无理数(1872)。

在笛卡儿坐标系统(笛卡尔)命名的解析几何,一个水平数轴(通常被称为x设在)和一个垂直数轴(y设在)相交成直角的共同起源提供坐标平面上的每一点。例如,通过一些特定的点上一条垂直线x在x通过一些设在和水平线y在y设在由一对实数表示(x,y)。类似的几何表示(看到的图为复数)存在,水平的地方轴对应于实数和纵轴对应虚数(其中虚数单位我等于平方根−1)。复数的代数形式x+我y,在那里x代表真正的部分我y虚部。

这个配对的空间和数量给配对代数表达式的一种手段,或功能,在一个变量等几何物体在平面上的直线和圆。配对的结果可能被认为是图(看到的图)表达式的不同值的变量。

代数表达式

到目前为止可能提到的数量结合根据通常的表达式算术操作的加法、减法和乘法。因此,一个x+by和一个xx+bx+c是常见的代数表达式。然而,指数表示法通常用于避免重复同样的词在一个产品,这样一个写道x²为xx和y³为yyy。(按照惯例x⁰= 1)。表达式建立这样的真实和复数,代数数量一个,b,c、…x,y,z和上面的三个操作被称为多项式一词引入16世纪晚期的法国数学家弗朗索瓦Viete从希腊多边形(“许多”)和拉丁语nominem(“名称”或“术语”)。的一种方式描述一个多项式是由许多不同的未知,或变量、数量。描述一个多项式的另一种方法是由其学位。一个多项式的程度在一个未知的未知是最大的力量出现。的表情一个x+b,一个x²+bx+c,一个x³+bx²+cx+d一般多项式在一个未知的(x度1、2和3,分别。当只有一个未知数,不管哪个字母用于它。同样可以把上面的多项式写成一个y+b,一个z²+bz+c,一个t³+bt²+ct+d。

因为一些洞察复杂函数可以通过简单的近似函数,多项式的第一学位在早期进行调查。特别是,一个x+by=c代表一条直线一个x+by+cz=e代表一个平面在三维空间中,是第一批代数方程进行了研究。

多项式可以组合根据三种算术运算的加法,减法,乘法,结果又是一个多项式。以这种方式获得的简化表达式结合多项式,一个使用分配律,以及可交换的和联想法加法和乘法(看到的点击这里查看尺寸表表)。直到最近代数的一个主要缺点是多项式的极端单调乏味的常规操作,但现在许多符号代数程序使这项工作简单表达式输入电脑。

对多项式通过扩展操作包括部门或多项式的比率,一个获得理性的功能。这样的理性功能的示例是2/3x和(一个+bx²)/ (c+dx²+ex⁵)。使用rational函数允许一个介绍表达式1 /x和其权力,1 /x²1 /x³…(经常写x⁻¹,x⁻²,x⁻³,…)。当分子的有理函数的程度至少是一样大的分母,可以把分子除以分母一个分裂整数由另一个。这样一个可以写任何有理函数的和一个多项式和有理函数的程度的分子分母的小于。例如,(x⁸−x⁵+ 3x³+ 2)/ (x³−1)=x⁵+ 3 + 5 / (x³−1)。自这一过程所涉及的条款减少了度,是特别有用的计算合理的值函数和处理他们当他们出现微积分。

解决代数方程

理论工作和应用程序经常需要找到数字,多项式代替未知时,请一定等于零。这样的数量被称为“根”的多项式。例如,多项式−16t²+ 88t+ 48代表了高度地球t秒的连续弹扔在塔顶的88英尺每秒48英尺高。(16个公式来自一半重力加速度,32英尺每秒每秒。)通过设置方程等于零,保理(4t−24)(−4t−2)= 0,方程的根是一个积极的发现是6,这意味着对象会撞到地面后约6秒。(这个问题也说明了重要的代数概念零因子属性:如果一个b= 0,一个= 0或b= 0)。

这个定理,每个多项式都有尽可能多的复根程度被称为代数基本定理德国在1799年首次证明