椭圆方程

椭圆方程，任何一类的偏微分方程描述不随时间变化的现象，如热或流体在介质中流动而不积聚的现象。的拉普拉斯方程，u_xx+u_yy= 0，是描述这种情况的最简单的方程维．除了满足一个微分方程在区域内，椭圆方程也由其沿区域边界的值(边界值)决定，这些值表示来自区域外的影响。这些条件可以是边界点的固定温度分布(狄利克雷问题)或透过边界供应或移走热量，以维持整个温度分布恒定的环境(诺伊曼问题)。

如果是二阶的最高阶项偏微分方程常系数是线性的，如果系数一个，b，c的u_xx，u_xy，u_yy条款满足不平等b²−4一个c< 0，则通过坐标的改变，主体部分(最高阶项)可以写成拉普拉斯式u_xx+u_yy．因为物理系统的性质是独立的坐标系统作为问题的公式，这些椭圆方程的解的性质应与拉普拉斯方程(看到调和函数)．如果系数一个，b,c不是不变而是依赖x而且y，则方程在给定区域内称为椭圆方程b²−4一个c在区域的所有点上都< 0。的函数x²−y²而且e^x因为y满足拉普拉斯方程，但这个方程的解通常更复杂，因为边界条件也必须满足。