布尔局部拓扑gydF4y2Ba

如果一个拓扑结构的内部语言是经典的，那么它就是布尔型的。它是以英国数学家的名字命名的gydF4y2Ba乔治·布尔gydF4y2Ba(1815-64)，他是第一个给出经典代数表示的人gydF4y2Ba微积分gydF4y2Ba的命题。布尔拓扑在以下情况下是局部的。析取属性(2)在布尔拓扑中当且仅当，对于每个封闭公式gydF4y2BapgydF4y2Ba,要么gydF4y2BapgydF4y2Ba为真还是?gydF4y2BapgydF4y2Ba是真的。此外，在De Morgan定律的帮助下，存在属性(3)可能会被重新措辞:gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)对所有封闭项都成立gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba类型的gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba，那么∀gydF4y2Ba_{xgydF4y2Ba∊gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba}ϕ(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)是正确的。事实证明，布尔型局部拓扑可以更简单地描述为具有以下属性的拓扑，而不需要引用内部语言:ifgydF4y2BafgydF4y2Ba，gydF4y2BaggydF4y2Ba：gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba→gydF4y2BaBgydF4y2Ba箭是这样的吗gydF4y2BafgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba＝gydF4y2BaggydF4y2Ba一个gydF4y2Ba对所有gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba: 1→gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,然后gydF4y2BafgydF4y2Ba＝gydF4y2BaggydF4y2Ba．(这里是所谓的gydF4y2Ba终端gydF4y2Ba对象，每个对象的属性为gydF4y2BaCgydF4y2Ba，有一个独特的箭头gydF4y2BaCgydF4y2Ba→1)。对于布尔拓扑结构，ω-完全要求所有的数字，即闭类型项gydF4y2BaNgydF4y2Ba在它的内部语言中，是标准的，即形式为0，gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba0，gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba0，以此类推。gydF4y2Ba

当然，Gödel的完整性gydF4y2Ba定理gydF4y2Ba表明有大量的布尔局部拓扑来建模纯经典类型理论，但通常gydF4y2Ba证明gydF4y2Ba它们的存在需要非建设性的论证。有建设性地展示至少一个这样的模型是很有趣的。gydF4y2Ba

作为构建ℒ的区分ω-完全布尔模型的第一步gydF4y2Ba_1gydF4y2Ba人们可能希望定义gydF4y2Ba概念gydF4y2Ba在ℒ的真理gydF4y2Ba_1gydF4y2Ba，这是由该模型得出的。gydF4y2Ba好地gydF4y2Ba证明了经典一阶真理是如何定义的gydF4y2Ba算术gydF4y2Ba一种语言，除了公式，只接受类型术语gydF4y2BaNgydF4y2Ba．塔尔斯基基本上是通过将ω-完备性纳入真理的定义来实现这一点的。他的方法是否能推广到经典的高阶算术——也就是经典的类型论——还不明显。事实上，塔尔斯基自己证明了真理的概念在这样一个系统中是不可定义的(在技术意义上)。如果他的可定义性的概念与这里所说的可构造性相对应，那么就有可能得出这样的结论:实际上，没有布尔模型可以被构造出来。gydF4y2Ba

人们可能会想把所谓的杰出布尔局部拓扑作为候选gydF4y2Ba冯·诺依曼宇宙。它被定义为包含空值的集合类的并集gydF4y2Ba集gydF4y2Ba(集合范畴中的初始对象)并且在幂集运算和超有限并集下封闭——因此，作为集合范畴的子范畴。但如果不是要寻找的区分布尔局部拓扑，集合的类别是什么?gydF4y2Ba

一个更好的人选可能是gydF4y2BaGödel的可构建宇宙，其最初的目的是作为Zermelo-Fraenkel的模型gydF4y2Ba集理论gydF4y2Ba其中gydF4y2Ba连续统假设gydF4y2Ba成立。它的构成就像冯·诺依曼宇宙，除了子集的概念，gydF4y2Ba隐式的gydF4y2Ba在功率集运算中，由可定义子集的值代替。有没有可能，这个宇宙可以像自由拓扑一样，在不参考任何先前给定的集合类别的情况下，或通过一个普遍性质来构造?gydF4y2Ba

在布尔局部拓扑的内部语言中，逻辑连接词和量词有其自然含义。具体地说，量词承认agydF4y2Ba替代解释是哲学家们讨论过的一个理想的性质(其中包括，gydF4y2Ba罗素gydF4y2Ba美国逻辑学家gydF4y2Ba扫罗KripkegydF4y2Ba(生于1940年))——也就是说:如果gydF4y2Ba存在主义gydF4y2Ba陈述是真的，那么它可以被一个人所见证gydF4y2Ba术语gydF4y2Ba适当的:语言中适当类型的;一个普遍命题是真的，如果它被所有适当类型的项所见证。gydF4y2Ba

请注意，在自由拓扑的内部语言中，因此在纯直觉类型论中，替换解释对于存在量词是有效的，因为自由拓扑是局部的，但对于普遍量词无效，因为ω完备性的缺失以及在自由拓扑中所有数字都是标准的事实。对于布尔型局部拓扑结构，ω-完备性还将确保所有数字都是标准的，这样数字的意思就完全是它们想要表达的意思。gydF4y2Ba

一个或多个杰出的模型gydF4y2Ba

一些数学家不相信一个杰出的世界gydF4y2Ba数学gydF4y2Ba应该寻求，而不是gydF4y2Ba多重性gydF4y2Ba我们应该同时看待这两个世界。一个主要的结果gydF4y2Ba代数几何gydF4y2Ba，由于gydF4y2Ba亚历山大GrothendieckgydF4y2Ba，是观察到每gydF4y2Ba交换环gydF4y2Ba可以看作是一个连续可变的局部环，正如Lawvere所说的那样。基于同样的精神，Gödel完备性定理的放大版本会说，每个拓扑都可以被视为一个连续变量的局部拓扑，只要有足够多的变量(gydF4y2Ba亨金常数)与它的内部相邻gydF4y2Ba语言gydF4y2Ba．用更专业的语言来说，这使得可能的数学世界的梗gydF4y2Ba捆gydF4y2Ba．然而，这个问题仍然存在，如果不是在一个杰出的数学世界，或者更确切地说，在一个超数学的世界，这一捆生活在哪里。gydF4y2Ba

这些观察表明，数学的基础还没有达到一个gydF4y2Ba明确的gydF4y2Ba形状但仍在演变;他们形成了一场激烈辩论的主题gydF4y2Ba集团gydF4y2Ba有兴趣的数学家，逻辑学家和哲学家。gydF4y2Ba