非断言结构
19世纪的数学家发现错的项目减少数学来算术和集理论康托尔和弗雷格所显示。特别是,法国数学家亨利。庞加莱(1854 - 1912)反对非断言结构,构造一个实体某种类型的实体的type-i.e相同或更高。,自参照结构和定义。例如,当证明每一个有界非空的集X有一个真正的数字最小上界一个,一个收益如下。(用于这个目的,认为这将是方便的实数后,绰金,作为一个组包含所有的rational rational不到任何元素的设置。)一个让x∊一个当且仅当x∊y对于一些y∊X;但在这里y相同类型的是吗一个。
看起来,做普通的分析一个需要非断言结构。罗素和怀特黑德在表语类型基础数学理论的努力未获成功;但是,虽然不情愿,但他们必须引入一个额外的公理,axiom的还原性,呈现他们的企业非断言。最近,瑞典的逻辑学家每Martin-Lof提出了一个新的表语类型理论,但没有人声称这对所有的古典分析来说是足够的。然而,德裔美国人数学家赫尔曼·韦尔(1885 - 1955)和美国数学家所罗门Feferman表明非断言上面常常可以等参数规避不需要对大多数,如果不是全部,的分析。另一方面,被意大利计算机科学家指出朱塞佩•隆戈(生于1929年),非断言结构是非常有用的计算机科学题,为生产fixpoints(给定进程下的实体保持不变)。
非建设性的论点
另一个批评提出的Cantor-Frege项目克罗内克非建设性的论点反对,如以下证明这存在无理数a和b, ab是理性的。如果
是理性的,那么证明完成;否则采取
和b =√√2,所以,b= 2。的论点非建设性的、因为它不告诉我们是哪个替代持有,即使更强大的数学,显示了俄罗斯数学家亚历山大·奥西波维奇·格尔丰德(1906 - 68)。在目前的情况下,结果可以证明有建设性的=√√2和b = 2日志23所示。但还有其他建设性的经典定理证明存在。
考虑,例如,声明∃x(∃yϕ(y)⊃ϕ(x)),这象征着声明存在一个人如果有任何名人而出名。这可以证明的帮助下德摩根定律,英国数学家和逻辑学家的名字命名的奥古斯都•德•摩根(1806 - 71)。它断言的等效∃yϕ(y)¬∀y¬ϕ(y),使用经典逻辑,但没有一个可以构造这样一个方式x例如,当ϕ(x)断言的存在良序实数,被Feferman证明。有序集合是秩序井然的最小元素。如果每个非空的子集它已经被证明德国数学家恩斯特策梅洛(1871 - 1951),每组可以秩序井然的,提供了一个采用另一个公理,公理的选择说,对于非空的集的每个非空的家庭,都有一组能挑出一个元素从每一个集。这axiom是一个肥沃的非建设性的论点的来源。
直观的逻辑
荷兰数学家L.E.J.这(1881 - 1966)在20世纪初基本洞察力非建设性的论点,这样将避免如果放弃原则的经典逻辑背后德摩根定律。这是第三(或排除的原则排除中间)断言,对于每一个命题p, p或非p;同样如此,对每一个p, p不意味着p。这个原则是基本经典逻辑,已经阐明的亚里士多德虽然有一些保留,他指出,声明“明天将有一场海上”既不是真的或假的。
这并没有宣称的原则排除第三总是失败,只有它可能会失败的无限集。两个自然数x和y人们总是可以决定x=y或x≠y,但两个实数这可能是不可能的,作为一个可能知道无限的数字的十进制扩张。类似的异议申请德摩根定律,排除第三的原则的结果。对于一个有限集一个如果它已被证明,断言∀x∊一个¬ϕ(x)导致矛盾,∃x∊一个ϕ(x)可以通过观察验证的每个元素一个反过来,即。,任何成员的声明中给定的设置有一定的属性可以通过检查每个元素反过来证明。的无限集合一个没有办法,这样一个可以进行检查。
这是哲学的数学被称为直觉说。虽然这自己觉得数学是独立于语言的,他的弟子。艾伦Heyting(1898 - 1980)建立了一个正式的一阶语言直观的算术。这后来的追随者甚至研究直观的类型理论(见下文),它不同于古典类型理论只有一个公理的缺席(双重否定):∀x∊Ω(¬¬x⊃x),Ω是真实值的类型。
虽然不能说许多练习数学家跟随了这在哲学理由拒绝这一原则,这是一个伟大的惊喜的人工作范畴论中某些重要的类别称为topoi(单数:传统的主题;见下文主题理论)与一种语言,是直观的。在结果这一事实的定理关于集证明建设性地立即被视为有效不仅集也捆然而,超出了本文的范围。
直觉说认为这里拥抱克罗内克的温和形式的建构主义而不是更极端的立场有限论。根据这一观点,这可以追溯到亚里士多德,无限集并不存在,只是潜在的。事实上,正是在无限集的古典原则排除第三直觉主义的下降。
一个更极端的位置,被称为ultrafinitism,认为即使不存在非常大的数字,说数字大于10(1010)。当然,巨大的多数数学家反对这一观点,指的是10(1010)+ 1,但是真正的信徒有微妙的方式绕过这一异议,,然而,谎言超出了本文的范围。
其他逻辑
而直观的逻辑是来自经典逻辑通过排除第三的原则,其他逻辑也被提出,尽管有相当影响的基础数学。你可以提多值、多值逻辑,承认有限数量的真实值;模糊逻辑,不精确的成员关系(尽管,矛盾的是,一个精确的平等关系);和量子逻辑,结合可能只是部分定义和含义可能不被定义。或许更重要的是各种所谓的子结构逻辑的一般属性扣除象征削弱:相关性研究的逻辑是哲学家,线性逻辑由计算机科学家、语言学家和非交换的后者。