递归定义

皮亚诺已经观察到的自然数可以递归地定义:x + 0 =x,x+年代y=年代(x+y)。其他数值函数ℕ^k→ℕ可以借助这样一个递归定义计划(0的帮助下,年代和替换)原始递归。哥德尔用这个概念做出精确的“有效可列举的他是什么意思。“一个集的自然数是递归可枚举的如果它包含所有f(n),n∊ℕ,f∶ℕ→ℕ是原始的递归函数。

这个概念可以很容易地扩展到ℕ的子集^k,通过一个简单的技巧称为算术化组串话的语言。因此哥德尔能够断言的定理数学递归可枚举的,最近,美国语言学家吗诺姆·乔姆斯基(生于1928年)可以说的语法句子的自然语言,如英语,是递归可枚举的。

不难证明原始的递归函数可以计算。例如,计算x+y当x= 3,y= 2,利用皮亚诺的递归定义x+y1 =和定义年代0,2 =年代1,等等,一个收入如下:

3 + 2 =年代2 +年代1 =年代(年代2 + 1)=年代(年代2 +年代0)

=年代年代(年代2 + 0)=年代年代年代2 =年代年代3 =年代4 = 5。

但原始递归函数并不是唯一的数值可以计算的函数。更普遍的是递归函数,f∶ℕ→ℕ据说是递归的图是递归地enumerable-that,如果存在原始递归函数u,v∶ℕ→ℕ,所有的自然数x和y,y=f(x)当且仅当,对于一些z∊ℕ,x=u(z),y=v(z)。

所有的递归函数都可以用铅笔和纸或计算,更原始,通过移动鹅卵石(结石在拉丁语)从一个位置到另一个,使用一些有限的指令集,现在称为程序。相反,只能计算,递归函数或计算机器由英国数学家提出一个理论阿兰·图灵(1912 - 54),或由现代电脑。的Church-Turing论文断言,非正式的概念可计算性是完全被正式的递归函数的概念,因此,从理论上讲,可复制的机器。

哥德尔不完备定理已经证明,任何有用的正式的数学系统将包含不可判定的命题命题可以既不证实也不反驳了。教堂和图灵,而寻求决定theoremhood算法(机械)测试,因此可能删除nontheorems,独立证明,早在1936年,这种一阶的计算方法是不可能的谓词逻辑(看到逻辑,20世纪的历史:逻辑)。的Church-Turing定理的不可判定性,再加上相关的波兰裔美国数学家的结果阿尔弗雷德好(1902 - 83)不可判定性的真相,消除了一个纯粹的机械装置取代数学家的可能性。

电脑和证明

虽然许多数学家使用电脑只是文字处理器和通信为目的的,计算机辅助计算可以发现潜在的有用的定理。例如,素数定理首次提出大量的手工计算的结果在质数3000000瑞士数学家吗欧拉(1707 - 83),这一过程将是极大的促进现代计算机的可用性。电脑也能帮助完成证明当有大量的情况下要考虑。著名的计算机辅助证明的四色映射由美国数学家定理肯尼斯·Appel(生于1932年)沃尔夫冈劳工(生于1928年)甚至超越这一点,计算机帮助确定哪些病例被认为是在下一步的证据。然而,原则上,电脑不能要求发现证明,除了非常mathematics-such限制地区小学欧几里得的几何体的定理是递归的,被证明是好。

图灵之前调查的结果,教会,美国数学家Haskell布鲁克斯咖喱(1900 - 82),和其他人,计算机科学本身已经成为数学的一个分支。因此,在理论计算机科学,研究的对象不仅仅是定理也证明,以及计算,程序,和算法。理论计算机科学证明有一个范畴理论紧密联系。尽管这超出了本文的范围,表明将下面。