无限的复审

微积分重开的基本问题

虽然数学古希腊时期的繁荣结束后800年亚历山大,在印度和一段插曲伊斯兰世界再次在欧洲文艺复兴时期,哲学问题有关的基础数学没有筹集到微积分的发明,然后由哲学家而不是数学家乔治·伯克利(1685 - 1753)。

艾萨克·牛顿爵士在英格兰和戈特弗里德威廉莱布尼茨在德国有独立开发的微积分的基础上启发式规则和方法明显缺乏逻辑的理由。一样在许多新发展,效用大于严谨,虽然牛顿流数术(或衍生品)和莱布尼茨无穷小(或差异)缺乏连贯的合理的解释,他们的权力在回答中无法回答的问题是不可否认的。不像牛顿,他没有努力解释和证明流数术,莱布尼兹,作为一个著名的和备受尊敬的哲学家,是有影响力的传播无穷小的想法,他描述为无限小的实际数字,小于1 /n为每个正整数的绝对值n但不等于零。加州大学伯克利分校确定性和无神论的,有关影响哲学的机制,集揭示矛盾的微积分在他有影响力的书的分析师;或者,话语写给一个异教徒数学家。他严厉地写了这些公式和无穷小,“他们既不是有限的数量,也不是无穷小的数量,也不是没有。可能我们不叫他们离开数量的鬼魂?”,并进一步问道,“是否数学家,在宗教是如此微妙的点,严格谨慎的科学吗?是否他们不服从权威,把事情在信任,相信点不可思议?”

伯克利分校的批评直到19世纪,才完全满足时,意识到这一点,在表达吗dy/dx,dx和dy不需要领导一个独立的存在。相反,这个表达式可以被定义为普通比率Δ的极限y/Δx,因为Δx接近零不为零。此外,限制的概念解释相当严格,在回答等思想家的芝诺和伯克利。

直到20世纪中叶,逻辑学家亚伯拉罕·罗宾逊(1918 - 74)显示的概念无穷小实际上是逻辑上一致,因此,无穷小可以引入新型的数字。这导致了微积分,一种新奇的方式呈现非标准分析然而,,不像它可能成为普遍的和有影响力的。

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数字和数学

罗宾逊的论点背后的假设是:如果无穷小ξ的存在导致了矛盾,这矛盾必须已经获得这些假设的有限集,说:但这有限集是一致的,因为被ξ= 1 / (n+ 1)。

非欧几里得的几何图形

当欧几里得介绍了他公理治疗几何,他的一个假设,他的第五假设,似乎是不太明显的或基本的比其他人。像现在这样传统配方,它声称有一个平行于一个给定的行通过一个给定的点。试图从欧几里德的其他公理推导不成功,,在19世纪初,它是意识到欧几里得第五公设,事实上,独立于他人。当时看到欧几里得不是一个真实的几何描述,但只有一个可能的几何图形。

椭圆和双曲几何图形

欧几里得的框架内的其他四个假设(和一些他省略了),也有可能的椭圆和双曲几何图形。在平面椭圆几何没有相似之处给定线通过一个给定的点;它可能被视为一个球形的几何表面映点已确定和线都是大圈。这不是视为革命。更令人兴奋的是飞机双曲几何独立开发的匈牙利数学家Janos Bolyai(1802 - 60)和俄罗斯数学家Nikolay Lobachevsky(1792 - 1856),其中有多个平行于一个给定的线通过一个给定的点。这个几何更难以想象,但是一个有用的模型介绍了双曲平面圆的内部,在直线的形式的弧线圈垂直于周长。

区分这三个几何图形的另一种方法是看三角形的角的总和。这是180°欧几里德几何据说,第一个发现的米利都的泰勒斯(6世纪蓬勃发展公元前),而这是超过180°椭圆几何和小于180°双曲几何。看到图。

康托尔

在19世纪,德国数学家Georg康托尔(1845 - 1918)再次回到的概念∞表明,令人惊讶的是,不仅仅是一种无穷但很多种类。特别是,设置ℕ自然数和ℕ所有子集的集合无限,后者收集更多,康托尔的方式精确,比前者。他证明了ℕ、ℤℚ都有相同的大小,因为它可以放进一一对应,但ℝ较大,拥有相同的大小作为ℕ的所有子集的集合。

然而,康托尔无法证明所谓的连续统假设,声称没有设置大于ℕ但小于集合的子集。这是显示仅在20世纪,由哥德尔和美国逻辑学家保罗•科恩(1934 - 2007)的连续体假设既不能证明也不能从通常的公理证明吗集理论。德国数学家康托了他的批评者,尤其是利奥波德克罗内克(1823 - 91),他认为,康托尔的理论形而上学的,他的方法是不够建设性(见下文非建设性的论点)。