共性

雅典的哲学家柏拉图相信数学实体不仅是人类的发明,但有一个真正的存在。例如,根据柏拉图,2号是一个理想的对象。这有时被称为一个“想法”,从希腊艾德,或“普遍”的拉丁语universalis,意思是“,这是所有的问题。”但柏拉图没有记住一个“精神形象,”为“主意”通常是使用。2号是区别两块石头或两个苹果的集合,在巴黎,两个铂球。

那么,这些柏拉图式的想法吗?已经在古代亚历山大有些人猜测他们是单词。这就是为什么希腊词标识,最初的意思是“词”,后来获得了神学意义表示”背后的终极实在的东西。“一个激烈的辩论发生在中世纪的共性的本体论地位。三个主要的观点占了上风:现实主义这个词来自拉丁语res(“的”),它声称共性有extra-mental之上,他们独立存在的感知;概念论内,断言共性作为实体存在但是没有extra-mental存在;和唯名论这个词来自拉丁语第二名字(“名字”)断言共性存在无论是心里还是在extra-mental领域但仅仅是名称,指的是单个对象的集合。

现在看来,柏拉图相信真理的独立于人类思维的概念。在更少柏拉图的老师苏格拉底声称可以认识这个真理的过程类似于记忆检索。因此,通过巧妙的提问,苏格拉底设法把一个没受过教育的人记住,或者说重建,证明的一个数学定理。

公理化方法

也许最重要的贡献的基础数学由古希腊人是公理方法和证据的概念。这是坚持在柏拉图的学院和300年亚历山大大约达到了高潮公元前与欧几里德几何学的元素。这个概念之所以能走到今天,除了一些表面的改变。

这个想法是这样的:有一些基本的数学真理,调用公理或假设,其他真正的语句可能派生有限数量的步骤。可能需要相当大的聪明才智发现证明;但现在认为,必须能够检查机械,一步一步,所谓的证据是否确实是正确的,现在电脑应该能够做到这一点。可以证明被称为数学语句定理,因此,原则上,一个机械装置,如现代计算机,可以生成所有定理。

两个问题的公理化方法被古人没有回答:都是数学真理公理或定理(这被称为完整性),它可以确定机械是否一个给定的语句是一个定理(这就是所谓的可判定性)?含蓄地提出了这些问题大卫希尔伯特(1862 - 1943)- 1900和被解决后,Austrian-American完整性的逻辑学家库尔特·哥德尔(1906 - 78)和可判定性由美国逻辑学家西德尼教堂(1903 - 95)。

欧几里得的工作处理数论和几何,基本上所有的数学然后知道。自20世纪中叶逐渐改变集团大多是法国数学家的假名尼古拉斯·布尔巴基试图模仿欧几里得在编写一个新的吗元素的数学根据他们的理论结构。不幸的是,他们只是错过了从范畴论的新想法。

数字系统

当古希腊人熟悉正整数,理性,实数,零(用作实际数量而不是表示失踪人数)和负数是第一次使用在印度,据目前所知,Brahmagupta公元7世纪ce。复数介绍了意大利文艺复兴时期的数学家和医生Gerolamo Cardano(1501 - 76),而不只是解决方程等x²+ 1 = 0,而是因为他们需要找到真正的解决方案特定的立方用实系数方程。后来,德国数学家卡尔•弗里德里希•高斯(1777 - 1855)证明了代数基本定理,所有与复系数方程组有复杂的解决方案,从而去除的主要动机引入新的数字。不过,爱尔兰的数学家威廉爵士罗文汉密尔顿(1805 - 65),法国数学家Olinde罗德里格斯(1794 - 1851)发明的四元数在19世纪中叶,但这些科学证明是不那么受欢迎社区直到最近。

目前,数字系统的逻辑表示,作为大学教育水平,将如下:ℕ→ℤ→ℚ→ℝ→ℂ→ℍ。这里的字母,由尼古拉斯•布尔巴基引入参考自然数,整数,理性,实数、复数,和四元数,分别和每个数字系统的箭头表示包容。然而,正如已经证明,不同的历史发展过程:ℕ⁺→ℚ⁺→ℝ⁺→ℝ→ℂ→ℍ,的加号表示限制积极元素。这是发展,ℝ,通常坚持在高中水平。