N人游戏

顺序和并发truels

的一个例子n人非合作的游戏,想象三名球员,一个,B,C,位于角落的一个等边三角形。他们从事truel,或三人决斗,每个球员都有一颗子弹的枪。假设每个玩家是一个完美的拍摄,可以杀死另一个球员在任何时间。没有固定的顺序,但任何枪击事件发生顺序:没有火灾的同时,其他球员。因此,如果发射了一颗子弹,结果被所有玩家之前另一个子弹是解雇。

假设球员秩序目标如下:(1)独自生存,(2)生存与一个对手,(3)生存与对手,(4)无法生存,没有对手活着,(5)不生存,与一个对手活着,和(6)无法生存,与对手活着。因此,独自生存是最好的,垂死的单独是最差的。

如果一个玩家可以在另一个球员,火不火,如果有人,会拍谁?不难看到,(3),结果没有人拍摄,是惟一的纳什equilibrium-any球员离开不射击更糟。相反,假设一个芽B,希望一个的结果(2),他和C生存。然而,现在C可以拍一个解除武装一个,从而让自己是唯一的幸存者,或结果(1),因为这是一个的倒数第二(5)结果,一个和一个对手(B)被杀而其他对手(C)的生活,一个不应消防第一枪;同样的逻辑也适用于其他两个球员。因此,没有人会开枪,导致结果(3),所有的三名球员生存。

现在考虑的球员是否可以做得更好勾结。具体来说,假设一个和B同意不互相射击;如果拍摄另一个球员,他们同意C。然而,如果一个芽C(例如),B现在可以否定该协议与不受惩罚和拍摄一个,从而成为唯一的幸存者。

因此,提前思考的不愉快后果射击第一或勾结与另一个球员这么做,没有人会拍摄或勾结。因此所有玩家将生存如果球员必须依次行动,(3)结果。因为没有球员可以做得更好的,或是说他们会这样做,这些策略产生纳什均衡。

接下来,假设球员同时行动;因此,他们必须决定彼此的无知的行为。这种情况在生活中是很常见的:人们常常必须采取行动前了解其他人在做什么。在同时truel有三种可能性,根据轮的数量,这个数字是否已知:

1. 一组练习。现在每个人都将发现,理性射击对手的比赛。这是因为没有球员能影响自己的命运,但至少,有时更好,通过拍摄另一个player-whether枪手生命或死亡是因为幸存的反对者的数量减少。因此,纳什平衡是,每个人都会开枪。每个玩家随机选择他的目标时,很容易看到,各有25%的机会存活。考虑的球员一个;他会死,如果B,C(3例),或者两者都向他开枪,相比之下,他的生存B和C互相射击(1例)。总之,一个一个,B,或C将生存概率75%,没有人会存活概率25%(当每个球员拍摄不同的对手)。结果:总是会有枪击事件,导致一个或没有幸存者。
2. N轮(n≥2和已知)。假设没有人拍摄一个对手了倒数第二,或者(n−1)圣,圆的。然后,在倒数第二轮,至少两名球员将理性或没有开枪。首先,考虑对手的情况一个。很明显,一个永远做得比拍摄,因为一个会被杀死。此外,一个并更好的射击哪个对手(必须有至少一个)并不是一个目标B或C。另一方面,假设没有人拍摄一个。如果B和C互相射击一个没有理由拍摄(尽管吗一个不能这样做伤害)。然而,如果一个对手,说B,把他的火,C芽B,一个又不能比持有他的火也做得更好,因为他可以消除C下一轮。(注意,C,因为它已经解雇了他唯一的子弹,没有威胁一个)。最后,假设两个B和C火。如果一个拍摄一个对手,说B,那么他的其他对手,C,将会消除一个最后,或nth,圆的。但是,如果一个持有他的火,游戏上nth轮,正如上面(1)中讨论的,一个有25%的几率幸存,假设随机选择。因此,如果没有其他人拍摄(n−1)圣轮,一个不能再在这一轮火比他做得更好。玩家是否不从拍摄的(n−1)圣圆形或不是每个战略可能是一个最好的回应其他球员do-shooting将是合理的nth轮如果有多于一个的幸存者和至少一个球员已经剩下一颗子弹。此外,拍摄的预期(n−1)圣或nth轮可能会导致玩家火前,甚至回到第一和第二轮。结果:总是会有枪击事件,导致一个或没有幸存者。
3. N轮(n无限的)。新皱纹是,它不可能是理性的球员在任何一轮射击,导致所有三名球员的生存。这是怎样发生的呢?上面的论点在(1),“如果你开枪,你不妨拍人”仍然适用。然而,即使你是,一个,B芽C,你就不能做得更好B,让自己唯一survivor-outcome(1),和之前一样,你做best-whether射击或,如果你拍摄的人不是别人的目标,从第一轮开始。然而,假设B和C避免在第一轮射击,考虑一个的情况。射击敌人不是理性的一个在第一轮因为幸存的对手会开枪一个下一轮(总会有下一轮n是无限的)。另一方面,如果所有的球员,按兵不动,继续这样做,在随后的几轮,那么所有三名球员将继续活着。虽然没有“最好”的策略在所有情况下,生存的可能性将会增加n是无限的。结果:可能有0,(任何之一一个,B,或C),或三个幸存者,但从来没有两个。总结、射击顺序truel从来就不是理性的,而在同时truel总是理性的,只有一个圆。因此,“没有人拍摄”和“每个人芽”是纳什平衡在这两种truels。在同时truels,不止一个圆的,相比之下,有多个纳什均衡。如果轮的数量是已知的,那么有一个纳什均衡的球员,和一个他不,起初,但最终只有一个或者没有幸存者。当轮的数量是无限的,但是,一个新的纳什均衡可能没有拍摄任何一轮。因此,喜欢和一个不确定的PD轮,轮的无限truel会导致更大的合作。

权力投票的悖论:椅子的位置

许多应用程序的n人博弈理论关心的是投票,往往是战略计算猖獗的。令人惊讶的是,这些计算会导致表面上最强大的球员投票的身体受到伤害。例如,假设投票的椅子的身体,虽然没有比其他成员更多的选票,可以断绝这种关系。这似乎使椅子更强大,但事实证明,拥有平局决胜的投票可能会适得其反,把椅子处于劣势相对于其他成员。以这种方式更大的资源,一个球员可能不总是转化为更大的权力,这将意味着一个球员的能力获得优先的结果。

在投票三人非合作的博弈分析,球员们认为可能发生的可能的结果。找到解决办法的问题不是缺少纳什均衡,但是太多。那么问题就来了,如果有的话,有可能被选中的球员?具体地说,是一个比其他人更有吸引力?答案是“是的”,但它需要扩展的想法肯定的策略,其连续应用程序在不同的阶段。

为了说明椅子的问题,假设有三个选民(X,Y,Z)和三个投票选择(x,y,z)。假设选民X更喜欢x来y和y来z表示,由xyz;选民Y的偏好yzx,和选民Z的是zxy。这些首选项产生所谓孔多塞投票悖论因为社会次序,根据少数服从多数原则,是不及物动词:尽管大多数选民(X和Z)喜欢x来y和大多数(X和Y)喜欢y来z,大多数(Y和Z)也喜欢z来x。(法国启蒙运动哲学家Marie-Jean-Antoine-Nicolas孔多塞首先检查这样的投票悖论后,法国大革命)。所以没有孔多塞得主,而且是一个替代这将在单独的两两比赛击败其他的选择。

假设一个简单多数决定获胜的替代。此外,在发生三系(永远不可能有一个双向领带如果有三票),假设的椅子上,X,可以打破领带,给椅子似乎会胜过其他两个选民,Y和Z,谁有相同的一票但是没有平局决胜。

在真诚的投票,每个人都投票选他的第一选择,而不考虑其他选民可能做什么。在这种情况下,选民X会得到他的第一选择(x),能够打破三大支持x。然而,X明显的优势将会消失如果投票是“复杂的”。

究其原因,首先注意X毫无疑问的事,或占主导地位,战略”投票x”;它不会更糟糕的是,有时比其他策略,无论其他两个选民。因此,如果其他两个选民投票支持相同的替代,x会赢;和X不能做的更好比投票真诚x投票,所以真诚永远不会变得更糟。另一方面,如果其他两个选民不同意,X的打破僵局的投票(连同他定期投票)决定性的在x的选择,这是X最好的结果。

的优势策略选择x的X,然后Y和Z面对减少战略选择,如图所示表6第一减少。(因为这是一个减少X支持战略x作为一个给定的。)在减少,Y有一个,Z有两个主要策略(D),这从来都不是更好,有时比其他策略,无论其他两个选民。例如,观察到“投x”Y总是会导致坏的结果,x。这使得Y有两个undominated策略”,投票支持y”和“投票支持z”,这既不是主要也不是主导策略:“投票y投票给“比”z“如果Z选择y(导致y而不是x),而相反的情况Z选择z(导致z而不是x)。相比之下,Z优势策略的“投z”,这导致的结果至少一样好甚至比他的其他两个策略。

当选民有完整的信息对彼此的喜好,他们会消除控制策略减少。消除这些策略给出了第二次减少矩阵,见表7。然后Y,“投之间选择y”和“投票支持z“在这个矩阵消除现在主导”投y“因为这个选择将导致x的成功由于椅子的平局的一票。相反,Y会选择“投z”,确保z的选举,这是最好的结果Y。以这种方式z的第一选择,这不是多数,实际上可以被y两两比赛冠军,成为复杂的结果,这是逐次消元产生的结果由选民(开始主导战略X真诚的选择x)。

复杂的投票结果在一个纳什均衡,因为没有一个球员离开他们的复杂的策略可以做得更好。这显然是真的X,因为x是他的主要策略;鉴于X的选择x,z是占主导地位的Z;鉴于这些选择X和Z,z是占主导地位的Y。这些“偶然”优势关系,一般而言,使复杂的策略纳什均衡。

观察,然而,有四个其他的纳什平衡这个游戏。首先,每个人的选择x,y,或z通过这三个选民都是纳什均衡,因为没有一个选民的离开可以改变到一个不同的结果,更少更好的一种,球员。此外,选择x通过X,y通过Y,x通过Z结果在x是一个纳什平衡,因为没有选民的离开会导致他获得更好的结果。

在博弈论的术语中,复杂的投票产生不同的小游戏,一些以前undominated策略在更大的游戏成为主导的小游戏。在几个连续的去除strategies-sometimes阶段可以使每个选民可能会决定结果。特别是,复杂的选民可以取消抵押品赎回权的可能性,最糟糕的结果将由先后删除选择主导策略,考虑到假定其他选民也会做同样的事。

复杂的投票如何影响椅子的假定额外的投票权?观察到椅子的平局的一票是不仅不是帮助而是肯定有害:它保证X的坏的结果(z如果投票是复杂的)将被选中。当选民的偏好不是很矛盾(注意三个选民有不同的第一,第二,第三选择,在这里,有一个孔多塞投票悖论),椅子的位置不发生的矛盾,使这一悖论例外而不是规则。