大综合

高斯对几何的另一个深刻的启发是关于曲面的一般描述。数学家们通常把表面当作三维的结构来处理——除了球面几何的显著例外欧氏空间．然而，由于这些曲面只占据二维空间，因此只需要两个变量来描述它们。这促使了这样一种想法，即二维曲面可以被视为具有自己几何形状的“空间”，而不仅仅是普通的欧几里得结构空间．例如，地图上两点之间的最短距离或路径表面的球小弧是大弧吗圆将它们连接起来，而将它们视为三维空间中的点，它们之间的最短距离是一条普通的直线行．

一个表面上两点之间的最短路径完全位于该表面内，称为测地线，这反映了测地线概念的起源，高斯对这一概念非常感兴趣。他的倡议在曲面作为空间，测地线作为它们的“线”的研究中，他的学生，以及他在Göttingen的继任者，Bernhard黎曼(1826 - 66)。黎曼从一个抽象空间开始n维度。那是在19世纪50年代，数学家和数学物理学家开始使用n-维欧氏空间来描述粒子系统在当时的新运动气体动力学理论．黎曼在准欧几里得空间中工作，“准”是因为他使用了微积分概括一下勾股定理提供足够的灵活性，以提供任何表面上的测地线。

当这很普遍的时候微分几何归结为二维曲面常数曲率，它揭示了非欧几里得几何的优秀模型。黎曼自己指出，仅仅通过将球体的测地线称为“直线”，就被人诟病假设的迟钝的角度产生适合球体表面的几何形状。类似地，如所示Eugenio贝尔特拉米(1835-1900)，他在萨切里在帕维亚的旧职位上结束了他的教学生涯，他的几何在平面上由假设定义急性角度完美地拟合恒定负曲率的旋转曲面，现在称为伪球面(看到数字) -同样，前提是它的测地线被接受为几何图形的直线。

因为钝角的假设正确地描述了欧几里德几何应用于一个球体的表面非欧几里得的几何学它必须与欧几里得几何完全一致。Lobachevsky和Bolyai治疗的锐角病例需要更锋利的工具。贝尔特拉米在一个投影在非欧几里得空间的点组成的欧几里得平面上的圆盘上，其中来自非欧几里得空间的每条测地线都对应于圆盘上的一条弦。建立在锐角假设上的几何与欧几里得几何具有相同的一致性。

欧几里得几何在证明非欧几里得几何的一致性中的关键作用暴露了元素更深入的审查。旧的瑕疵——特别吸引人直觉而像“内部”和“之间”这样的概念的意义图表，以及使用像叠加这样的有问题的程序来证明一致性，对于那些努力阐明数学基础的数学家来说，都是不可容忍的算术微积分以及新几何的相互关系。德国数学家莫里茨派斯克(1843-1930)Vorlesungen über neuere几何(1882);“关于新几何的讲座”)，指出了需要什么:未定义的概念，关于这些概念的公理，以及基于这些公理的更严格的逻辑。对于未定义的概念和公理的选择是自由的，不受一致性的限制。沿着帕斯的道路，数学家们引入了各种元素和公理，并以或多或少的优雅和麻烦发展了他们的几何。这些系统化者中最成功的是Göttingen教授大卫希尔伯特(1862 - 1943)的几何基础(1899)极大地影响了公理化所有数学．（看到边栏:教授元素．)