笛卡尔几何
1619年,伟大的照明,灵感的一部分笛卡尔承担适度的哲学以及改革的苦差事数学,他发明了“指南针”的棍棒滑动槽帧复制多维数据集和三等分角。笛卡尔尊敬这些实现了和他们影响的结构(引用一封1619)“不确定和几何比普通的圆所吸引。“通过使用恰当的工具,他将古代数学完美:“几乎任何仍将被发现在几何。”
笛卡尔所记住的使用指南针与滑动成员生成曲线。分类和研究这样的曲线,笛卡尔把他从阿波罗用分类的关系二次曲线部分,其中包含的广场,但是没有更高的权力,的变量。描述他的仪器产生的更复杂的曲线或定义为所涉及的点满足位点标准,笛卡尔必须包括数据集和更高权力的变量。他克服了他所谓的欺骗性的条款广场,矩形,多维数据集古人使用的和来确定几何定义的代数曲线描述的关系。通过减少关系很难证明几何代数之间的关系坐标(通常是矩形)点的曲线,笛卡尔带来的结合代数生下她和几何微积分。
几何计算
熟悉使用∞大部分衬底的角度来看理论和射影几何,也使发酵单调乏味的阿基米德疲劳的方法。毫不奇怪,一个务实的人,佛兰德工程师西蒙方式(1548 - 1620),谁写的角度和制图学应用数学的许多其他主题,给第一个有效的冲动重新定义阿基米德的对象分析。而不是限制圆之间的内切和外切多边形,新的观点认为圆与多边形与多边形,当他们的数量变得无限大。
这个恢复疲惫收到了初步的系统化方法Geometria Indivisibilibus Continuorum新星Quadam Ratione Promota(1635);”一个新的几何的方法测定连续不可分割”)的意大利数学家兰西Cavalieri (Francesco)(1598 - 1647)。Cavalieri,也许受到开普勒确定卷的方法Nova Steriometria Doliorum(1615);“新桶体积测定酒”),认为线组成的无限无量纲数分,区域行组成无穷小厚度和数量由飞机的无穷小深度为了获得代数求和的方法,他把他的数据元素。Cavalieri的方法可以表示如下:如果两个数字(固体)同等高度的减少平行线(飞机),这样每一对长度(地区)匹配,那么这两个数字(固体)有相同的面积(体积)。(看到)。虽然没有到严格的今天和批评标准的同时代的人(他们不知道“古典学者”阿基米德自己探索类似的技术),Cavalieri不可分割的方法成为一个标准的工具解决卷到的引入积分学在17世纪的结束。
第二个微积分的几何灵感来源于努力定义切线曲线比圆锥曲线论更复杂。费马的方法,许多的代表,作为范例发现最大化的矩形区域的问题对于一个给定的周长。让双方寻求矩形用一个和b。增加一方,减少少量的其他ε;然后合成领域是由(一个+ε)(b−ε)。费马发现开普勒所感知到的早些时候在调查最有用的形状的酒桶,附近最大(或最小)的数量几乎没有变化的变量所依赖略有改变。这一原则,费马把区域一个b和(一个+ε)(b−ε)来获得固定的值:一个b=一个b−ε一个+εb−ε2。通过取消常见术语一个bε,除以ε,然后设置为零,费马他著名的回答,一个=b。面积最大的图是一个广场。获取一个切线曲线通过这种方法,费马始于sec通过两个点之间的距离很短的距离,让距离消失(看到)。
世界体系
近的动机研究的一部分的阿波罗17世纪是圆锥部分的应用程序天文学。开普勒不仅取代了老的行星系统的许多圈几个椭圆,他还代替复杂的规则运动(他的“第二定律”)的相对简单的托勒密的规则,所有动作必须复合在执行的旋转常数速度。开普勒第二定律州,地球椭圆的举措行它和太阳之间放置在一个集中扫平等地区平等。他的天文学从而使紧迫的和实用的否则只是困难的问题交圆锥曲线论和不可分割的相关理论。
阿波罗的方法和一些无穷小,一个灵感几何学者表明,法律关于区域和椭圆可以来源于身体自由的假设所有部队休息或旅行在直线均匀,每颗行星不断下降与加速向太阳,只取决于他们的中心之间的距离。激发了尺蠖是艾萨克·牛顿(老式)(1642 -1727),行星动力学几何的问题完全取代了用一连串的无穷小的和弦,行星轨道行星加速通过一系列的心抽搐,而且,根据开普勒第二定律,时间由一个区域。
除了行星运动的问题,问题在光学推17世纪自然哲学家和数学家研究圆锥部分。阿基米德是应该显示(或照)在他的毁灭的罗马舰队通过反射太阳光,抛物面镜将所有光线平行于轴共同关注。阿基米德的故事引发了许多后来的几何学家,包括牛顿、仿真。最终他们强大到足以融化铁创建工具。
望远镜镜头同样的计算后,加强了圆锥曲线论的兴趣伽利略的1609年革命改善天文望远镜。笛卡尔强调眼镜的愿望与双曲表面,平行光线的聚焦束一个点(球面镜片的宽光阑给出一个模糊的图像),他发明了一种机器将维持,然而,巧妙的证明比有用。
早期现代应用程序的最后一个例子的几何物理世界的老问题的大小地球。(看到栏:测量地球,现代化)。在假设地球冷却从一个旋转液体blob,牛顿计算,这是一个扁球(通过旋转一个椭圆短轴),而不是一个球,他把多余的赤道直径对其极性。在18世纪许多测量技师试图发现陆地的偏心椭圆。最初,似乎所有的测量可能兼容牛顿地球。然而,到本世纪末,由几何大地测量工作者发现,地球不,事实上,有一个常规的几何形状。