放松和严谨

投影再次

庞斯莱是法国工兵部队的一名军官，他从老师那里学到了德斯格里的一些零星作品蒙日加斯帕德(1746-1818)，他发明了自己的方法投影用于建筑和机器的图纸。Poncelet依靠这些信息来维持自己的生命。他在1812年拿破仑入侵俄国时被俘，他通过在脑子里排练从蒙格那里学到的东西来打发时间。结果是射影几何．

Poncelet使用了三种基本工具。他从desargue那里学来的一个是示范通过在一个初等图形上通过投影可与原始图形互换的等价的更简单的定理来计算关于一个复杂图形的困难定理。第二个工具，连续性，允许几何学家宣称某些事物对于一个图形是正确的，而对于另一个同样一般的图形也是正确的，只要这些图形可以通过某种连续变化的过程从另一个图形推导出来。庞斯莱和他的辩护人米歇尔Chasles(1793-1880)将连续性原则扩展到域通过考虑诸如两个不相交的圆的共同和弦的构造来想象。

Poncelet的第三个工具是“原理”二元性，它将点与线、线与面等各种概念进行交换，从而从旧定理中生成新定理。Desargues定理允许它们相互交换。所以，正如斯坦纳所示，帕斯卡定理是六边形对边的三个交点二次曲线躺成一条线;因此，以圆弧为界的六边形的相对顶点的连线在一点上相遇。（看到数字．)

Poncelet的追随者们意识到他们是在妨碍自己，并通过保留长度和概念来掩盖射影几何的真正基础同余在他们的公式中，因为投影通常不能保存它们。同样地，并行性也必须消失。到19世纪中叶，人们已经开始努力卡尔·乔治·克里斯蒂安·冯·施陶德(1798-1867)等，以清除射影几何从欧几里得过去的最后多余的遗物。

非欧几里得的几何图形

启蒙运动并没有如此专注于分析，以至于完全忽略了欧几里得第五公设的问题。1733年Girolamo Saccheri(1667-1733)，耶稣会教授数学在意大利帕维亚大学的一项研究中，他提出了选择在宣布他已经“清除了欧几里得的所有缺陷”之前，他已经非常清晰和详细地阐述了这一点(Euclides ab Omni Naevo Vindicatus, 1733)。欧几里得的第五公设是这样的:“如果一个直的行落在两条直线上，使同一侧的内角小于两个直角，直线如果无限地产生，就会在小于两个直角的那一侧相交。”的四边形奥玛开阳(1048-1131)，他从两条平行线开始一个B而且DC，通过划线形成边线一个D而且BC垂直于一个B，然后考虑了三个假设的内角C而且D:是对的，迟钝的,或急性（看到数字)．第一种可能性给出了欧几里德几何．Saccheri致力于证明钝的和尖锐的选择都在矛盾中结束，从而消除了明确的需要平行公设．

在进行这个伪论证的过程中，Saccheri建立了几个非欧几里得几何定理——例如，根据是右、钝角还是锐角假设为正确时，三角形内角之和分别等于、超过或小于180°。然后，他通过一个依赖于允许线无限增加长度的论点，摧毁了钝角假设。如果这是不允许的，钝角的假设产生一个系统等效于标准的球面几何，图形的几何绘制在表面的球．

至于锐角，Saccheri只能通过诉诸于一个任意的关于线的行为的假设∞．他的追随者之一，瑞士裔德国博学者约翰·海因里希·兰伯特(1728-77)观察到，根据锐角假设，三角形的面积是球面三角形面积的负数。因为后者正比于广场半径，r在兰伯特看来，前者是一个有半径的想象球体的面积我r,在那里我＝的平方根√−1．

尽管Saccheri和Lambert都旨在建立直角的假设，但他们的论点似乎更倾向于表明替代方案的无懈可击。几位数学家Göttingen大学尤其是伟大的卡尔·弗里德里希·高斯(1777-1855)，然后开始研究这个问题。高斯可能是第一个意识到可以独立于欧几里得第五几何而建立一致几何的人假设，他得到了许多相关的命题，然而，他颁布只有在教学和通信中。最早出版的非欧几里得几何体系是两个来自东方的年轻人的独立作品，他们的大胆没有什么可失去的。两者都可以被认为是高斯的门徒一旦被移除:俄国人尼古拉·伊万诺维奇·洛巴切夫斯基洛巴切夫斯基(1792-1856)在喀山大学(University of Kazan)从高斯的一位密友那里学习数学，洛巴切夫斯基后来成为喀山大学的教授;而且Janos Bolyai(1802-60)，奥匈帝国军队的一名军官，他的父亲也是高斯的朋友。洛巴切夫斯基和鲍耶都在1826年之前完成了他们的新几何。

Lobachevsky和Bolyai用Saccheri和Lambert的方法对锐角假设进行了推理，并恢复了他们关于三角形面积的结果。他们超越了萨切里和兰伯特，推导出了一个假想三角函数与他们想象的几何形状相符。就像Desargues的射影几何被忽视了很多年一样，鲍耶和洛巴切夫斯基的工作也没有给一代甚至更多的数学家留下什么印象。这主要是死后的1855年发表了高斯关于非欧几里得的几何学这给了新方法声望，吸引了后来的数学家的注意。