线性代数

线性代数、数学纪律这涉及到向量而且矩阵更一般地说，是向量空间还有线性变换。不像其他地方数学线性代数经常被新的想法和未解决的问题所激发，线性代数被很好地理解。它的价值在于它的许多应用，从数学物理来近世代数还有编码理论。

向量而且向量空间

线性代数通常从研究向量开始，向量被理解为具有大小和方向的量。向量很容易用于物理应用。例如，考虑一个可以向任何方向自由移动的固体。当两个力同时作用在这个物体上时，它们会产生与单个力相同的联合效应。为了描绘这一点，用箭头表示两个力v和w;每个箭头的方向表示力的方向，箭头的长度表示力的大小。由v和w组合而成的单一力称为它们的和，写成v + w数字， v + w对应于形成的平行四边形的对角线相邻两边用v和w表示。

向量通常用坐标．例如，在二维空间中，向量可以由一对坐标(一个₁，一个₂)表示从原点(0,0)到点(一个₁，一个₂)．如果一个向量是(一个₁，一个₂)，另一个是(b₁，b₂)，则它们的和为(一个₁+b₁，一个₂+b₂）;这与平行四边形(看到的数字)．在三维空间中，矢量用三个坐标表示(一个₁，一个₂，一个_3.)，这个想法可以扩展到任何维度。

在二维或三维中用箭头表示向量是一个起点，但线性代数已在上下文这已经不合适了。例如，在某些类型的微分方程两个解的和可以得到第三个解，任何一个解的常数倍数也是一个解。在这种情况下，解可以作为向量来处理集解的个数是a向量空间在以下的意义上。在向量空间中，任何两个向量相加都可以得到另一个向量，向量乘以数可以得到“更短”或“更长的”向量。这些数字叫做标量因为在早期的例子中，它们是普通的数字，改变了a的比例或长度向量．例如，如果v是一个向量，2是一个标量，那么2v是一个方向与v相同但长度是v的两倍的向量。在线性代数的许多现代应用中，标量不再是普通的实数，但重要的是它们之间可以通过加、减、乘、除进行组合。例如，标量可以是复数，或者它们可能是有限域的元素，比如只有0和1两个元素的域，其中1 + 1 = 0。向量的坐标是标量，当这些标量来自两个元素的域时，每个坐标都是0或1，因此每个向量都可以被视为一个由0和1组成的特定序列。这在数字处理中非常有用，在数字处理中这样的序列被用于编码并传输数据。

线性变换和矩阵

向量空间是线性代数的两个主要组成部分之一，另一个是线性变换(物理学家称之为“算子”)。线性变换是功能将一个向量发送或“映射”到另一个向量。最简单的例子线性变换将每个向量发送到c乘以本身，其中c是某个常数。因此，每个向量保持相同的方向，但所有长度都乘以c．另一个例子是旋转，使所有长度保持不变，但改变了向量的方向。线性指的是转换保留向量加法和标量乘法。这意味着如果T是一个线性变换将一个向量v传送到T(v)那么对于任意向量v和w，以及任意标量c，变换必须满足T(v + w) = T(v) + T(w)和T(cv) =cT (v)。

在进行计算时，线性变换被视为矩阵．一个矩阵是矩形排列的标量，两个矩阵可以相加或相乘，如点击这里查看全尺寸表格表格两个矩阵的乘积表示进行一个变换后再进行另一个变换(从右到左)的结果，如果转换如果按相反的顺序做，结果通常是不同的。因此，两个矩阵的乘积取决于乘法的顺序;如果S和T是相同大小的方阵(行数与列数相同的矩阵)，那么ST和TS很少相等。给定变换的矩阵是用坐标找到的。例如，在二维空间中，一个线性变换T可以通过知道它对任意两个方向不同的向量v和w的影响来完全确定。它们的变换T(v)和T(w)由两个坐标给出;因此，只需要四个坐标，两个表示T(v)，两个表示T(w)，来表示T。这四个坐标以2乘2的形式排列矩阵．在三维空间中，需要三个向量u v和w，为了指定T(u) T(v)和T(w)每个向量都需要三个坐标。这就得到了一个3 × 3矩阵。