代数拓扑
20世纪初出现了许多理论，它们的力量和效用在很大程度上取决于它们的普遍性。通常，它们被标记为注意集或空间在所有特定类型的例子中。(功能分析就是这样一种努力。)这些一般理论中最有活力的是代数拓扑学。在本课题中，提出了用空格代替空格的各种方法集团和空间之间的映射由组之间的映射构成。这就像使用x光:信息丢失了，但原始空间的阴影图像可能以一种可访问的形式包含足够的信息来解决手头的问题。
对这类研究的兴趣来自各个方面。伽罗瓦的方程理论是一个例子，说明了把一个数学分支的问题转化为另一个更抽象的分支的问题可以达到什么效果。另一个动力来源于黎曼的复函数理论。他学习过代数函数即，由方程形式定义的位点f（x，y) = 0，其中f是一个多项式x多项式在谁的系数里y．当x而且y是复变量，轨迹可以被认为是实数表面分散在x复数平面(今天称为a黎曼曲面)．到每一个值x对应有限个的值y．这样的曲面不容易理解，黎曼建议沿着它们画曲线，如果沿着它们的曲面被切开，它可以被打开成一个多边形圆盘。他能够建立起深刻的联系最低对于给定的曲面，这样做所需的曲线数量和函数的数量(变成无限在指定的点上)，表面可以支持。
自然的问题是看看黎曼的思想能在多大程度上应用于更高空间的研究维．在这里展开了两种调查。一个人强调从观察中可以得到什么射影几何参与。这一观点被有效地应用于意大利代数几何学派。它遇到了一些无法完全解决的问题，比如曲面可以拥有的奇点。而由f（x，y) = 0只能在孤立的点上相交，即an给出的轨迹方程形式的f（x，y，z可能会在曲线上相交，这个问题造成了相当大的困难。第二种方法强调可以从研究中学到什么积分沿着表面的路径。这种方法，由Charles-Emile皮卡德并通过Poincaré提供了黎曼原始思想的丰富概括。
在这基地，猜想首先是由Poincaré，然后是由美国工程师出身的数学家所罗门·莱夫舍茨，关于集合管任意维度的。粗略地说，廖是n一维泛化曲面的概念;这是一个任何一小块看起来都像n维空间。这样的对象通常由single给出代数方程在n+ 1个变量。一开始，Poincaré和Lefschetz的工作关注的是这些集合管可分解为碎片，计算碎片的数量，依次分解。结果是一串数字，叫做贝蒂的数字以纪念这位意大利数学家恩里科·贝蒂他在这方面迈出了第一步，扩展了黎曼的工作。直到20世纪20年代末，这位德国数学家艾美奖Noether提出了如何用贝蒂数来衡量特定群体的规模。在她的鼓动下，一些人提出了一套关于这些群体的理论，即所谓的同源性而且空间的上同调群。
两个可以相互变形的物体具有相同的同调群和上同调群。为了评估当一个空间被它的代数拓扑图取代时，有多少信息丢失了，Poincaré问了关键匡威问题"根据什么代数条件可以说空间在拓扑上等价于球面? "他通过一个巧妙的例子表明，只有相同的同调是不够的，并提出了一个更精细的指标，这个指标后来发展成为拓扑学的一个分支，叫做同伦理论。它更精致，更基本，也更困难。通常有计算同调群和上同调群的标准方法，它们在许多空间中是完全已知的。相反，几乎没有一类有趣的空间，它的所有同伦群都是已知的。庞加莱猜想的这是a的同伦空间球实际上，球面在20世纪60年代在五维以上的空间中被证明是正确的，在20世纪80年代在四维空间中被证明是正确的。2006年格里戈里·佩雷尔曼被授予菲尔兹奖证明Poincaré的猜想在三维中是正确的，这是Poincaré唯一研究过的维度。
纯数学的发展
兴趣在于公理系统在世纪之交导致了公理已知系统代数结构例如，由德国数学家提出的场的理论恩斯特施泰尼茨在1910年。理论环(可以加、减、乘，但不一定能除的结构)更难形式化。它之所以重要，有两个原因代数整数是它的一部分，因为代数整数自然地形成环;并且(正如克罗内克和希尔伯特所论证的那样)代数几何形成另一部分。出现的环是可以定义的函数环曲线，表面，或廖或者在它的特定部分上是可定义的。
中存在的问题数论和代数几何通常是非常困难的，这是像诺特这样的数学家的希望，他们努力提出了一个正式的、公理化的环理论，通过在更精练的水平上工作，具体问题的本质将保留下来，而任何给定情况下分散注意力的特殊特征将消失。这将使形式理论更普遍，更容易，在令人惊讶的程度上，这些数学家是成功的。
这位美国数学家的研究进一步扭转了这一发展奥斯卡Zariski他曾师从意大利代数几何学派，但后来觉得他们的工作方法不够精确。他设计了一个详细的程序，在这个程序中，每一种几何形状都可以用代数形式重新描述。他的工作成功地产生了一个严谨的理论，尽管一些人，特别是莱夫谢茨，认为在这个过程中，几何学已经被忽略了。
代数几何的研究有义务的到Poincaré和Lefschetz的拓扑方法，只要流形由系数为的方程定义复数．但是，随着抽象理论的诞生字段在美国，人们自然想要一个由任意场中的系数方程定义的多样性理论。这是法国数学家第一次提出的安德烈·威尔在他的代数几何基础“，(1946)，在某种程度上借鉴了扎里斯基的工作，而不压制几何概念的直观吸引力。韦尔的理论多项式方程是任何试图确定几何物体的性质的研究的适当设置派生的仅用代数方法。但是它缺少一个重要的主题:整数多项式方程的解。这是韦尔接下来要讨论的话题。
主要的困难是，在一个领域是可以划分的，但在一个领域环事实并非如此。整数形成一个环，但不是一个字段(1除以2不会得到一个整数)．但是Weil证明了任何关于多项式整数解的问题的简化版本(在一个域上提出)都可以被有效地提出。这将问题转移到代数几何领域。为了计算解的数量，韦尔提出，既然这些问题现在是几何的，它们应该适用于代数拓扑学的技术。这是一个大胆的移动，因为没有合适的代数拓扑学理论可用，但韦尔推测它应该产生什么结果。韦尔猜想的难度可以通过以下事实来判断:最后一个猜想是对这一著名场景的概括黎曼假设关于ζ函数他们迅速成为国际关注的焦点。
嗯，还有克劳德•《李群亨利嘉当，琼Dieudonne等人创造了一群年轻的法国数学家，他们开始以这个名字出版一本数学百科全书尼古拉斯·布尔巴基这是韦尔从一位名不见经传的将军那里得到的德法战争．布尔巴基成为了一群自选的年轻数学家，他们擅长代数布尔巴基的个别成员对韦尔的猜想很感兴趣。最后他们完全成功了。提出了一种新的代数拓扑，并证明了韦尔猜想。广义黎曼假设最后投降的是比利时人吗皮埃尔Deligne在20世纪70年代早期。奇怪的是，它的分辨率仍然没有解决最初的黎曼假设。
布尔巴基是重新思考结构数学的关键人物。代数拓扑学使公理化的撒母耳Eilenberg波兰裔美国数学家和布尔巴基成员，美国数学家诺曼斯丁洛特。桑德斯·麦克莱恩，亦为美国，艾伦伯格扩展了这种公理化方法，直到许多类型的数学结构以科的形式出现，称为范畴。因此就有了类别由所有群和它们之间的映射组成，它们之间保持乘法，还有一种类型是所有拓扑空间连续它们之间的地图。做代数拓扑学就是把一个范畴(拓扑空间的范畴)中的问题转移到另一个范畴(通常是交换群或环的范畴)。当他为韦尔猜想创造了正确的代数拓扑时，这位德国出生的法国数学家亚历山大Grothendieck布尔巴基(Bourbaki)具有巨大的能量，他提出了代数几何的新描述。在他的手中，这本书充满了范畴论的语言。通往代数几何的路线变得前所未有的陡峭，但从峰会上看到的观点自然而深刻，这使得许多专家更喜欢它，而不是早期的公式，包括韦尔的公式。
格罗腾迪克的公式使代数几何成为研究环而不是场上定义的方程。因此，它提出了可以直接回答关于整数的问题的可能性。在美国、法国和俄罗斯志同道合的数学家的研究成果的基础上，德国人Gerd Faltings得意洋洋地证明是正确的当他解决了英国人路易斯的问题时莫德尔的猜想在1983年。这个猜想指出，几乎所有定义曲线的多项式方程都有最多有限个有理解;排除在猜想之外的情况是那些容易理解得多的简单情况。
与此同时,德国的格哈德·弗雷指出，如果费马最后定理是假的，所以有整数u，v，w这样up+vp＝wp（p大于5)，那么对于这些值u，v,p曲线y2＝x（x−up）（x+vp)具有与major相矛盾的属性猜想日本数学家谷山丰和志村五郎关于椭圆曲线的研究。弗雷的观察，由jean - pierre Serre由美国人肯·里贝证明，这意味着到1990年谷山的未经证实的猜想已经被人们所知费马最后定理．
1993年，这位英国数学家安德鲁·怀尔斯建立了谷山志村在包括佛雷曲线和费马最后定理在内的大量情况下进行了猜想——即使没有与费马的联系，这也是一个重大的成就。很快就发现，这个论点有一个严重的缺陷;但1995年5月，怀尔斯在另一位英国数学家的协助下，理查德•泰勒，发表了一种不同的有效方法。这样做，怀尔斯不仅解决了最著名的杰出问题猜想而且还成功地证明了现代数论的复杂和困难的方法。