分析和力学

科学革命了留下数学研究的一个主要项目分析和力学。时期从1700年到1800年,“分析的世纪”,见证了微积分的整合及其广泛应用力学。与扩张是专门化主题的不同部分收购自己的身份:普通的和偏微分方程,变分法,无穷级数,微分几何。分析的应用也各不相同,包括弦振动理论、粒子动力学刚体理论,灵活和弹性介质力学和可压缩和不可压缩流体理论。分析和力学发展紧密结合,形成一个概念和技术中存在的问题,以及所有时期的著名数学家力学作出了重要贡献。

数学和力学之间的密切关系在18世纪扩展深入扎根启蒙运动的想法。在知识的组织结构图的初步讨论的开始百科全书,琴乐圆达朗贝尔区分“纯”数学(几何、算术,代数数学,微积分)和“混合”(力学、几何天文学,光学所拥有的,艺术)。数学通常被分类为“自然科学”和分开逻辑“科学的人。“现代学科划分物理和逻辑数学和后者的协会尚未开发。

数学力学本身是在18世纪晚些时候在重要方面从不同物理。现代物理学的目的是探索物质和到达的终极微粒结构基本自然法则来解释物理现象。应用调查在18世纪的性格是截然不同。给定系统的材料部分及其相互关系理想化的目的分析。一个物体可以被视为质点(数学点它假定所有物体的质量集中),作为一个刚体,可连续形变的介质,等等。的目的是获得一个数学描述系统的宏观行为,而不是确定最终的物理现象的基础。在这方面,18世纪的现代数学观点更接近工程比物理。

18世纪数学研究协调了巴黎,柏林,圣彼得堡学院,以及由几个较小的省级科学学院和社会。尽管英格兰和苏格兰重要的中心在世纪初,麦克劳林的死亡在1746年,英国的火焰熄灭。

历史的分析

18世纪的历史分析可以在官方的回忆录之后发表的独立学院和解释性论文。在第一年的世纪微积分培养的氛围中知识兴奋的数学家应用一系列问题的新方法的几何曲线。两兄弟约翰和雅各布·伯努利表明,光滑线的形状以及粒子降落在时间是最少的摆线,超越曲线研究在上个世纪。工作的精神敏锐的竞争,这两兄弟来到想法,后来发展成的变分法。在他的书房的整改双纽线,带状的曲线雅各布·伯努利在1694年发现的,朱里奥卡洛Fagnano(1682 - 1766)介绍了巧妙的分析转换为椭圆理论奠定了基础积分。尼古拉斯我伯努利(1687 - 1759)的侄子约翰·雅各布,证明了平等的二阶混合偏导数和微分方程的建设作出了重要贡献正交轨迹曲线的家庭。皮埃尔Varignon (1654 - 1722),约翰·伯努利,雅各布·赫尔曼(1678 - 1733)继续发展分析动态适应莱布尼茨的微积分,牛顿的惯性力学原理。

几何概念和问题成为主流早期的微积分。强调曲线作为研究对象一致性否则是什么不同的分析技术的集合。持续发展,微积分渐渐从它的起源在曲线的几何形状,和一个运动出现了建立在纯粹的分析的基础上。在一系列的教材出版于本世纪中叶,瑞士数学家欧拉系统地完成了微积分的几何分离。在他的在屈曲分析Introductio Infinitorum(1748);无限的介绍分析),他的概念函数中央组织的概念分析:

一个函数的变量数量是一个分析表达式由以任何方式或从变量和数字常数数量。

欧拉分析方法说明了他的介绍正弦和余弦功能。三角函数表自古以来就已经存在,和正弦和余弦关系中常用数学天文。早期的微积分数学家的研究中派生周期性机械现象微分方程和他们能够解释其解决几何线条和角度圆。欧拉是第一个介绍正弦和余弦函数作为数量可以研究数量关系到其他的独立于任何几何图。

欧拉分析方法计算得到他的支持年轻的当代约瑟夫·路易斯·拉格朗日欧拉在1783年去世后,取代他成为欧洲数学的领袖。1755年,19岁的拉格朗日写信给欧拉宣布发现一个新的算法在变分法,欧拉把一个重要的课题论文11年前。欧拉广泛使用几何思想,强调分析方法的必要性。拉格朗日的想法是将新的符号δ引入微积分和正式,直到他设计了一个实验算法获得变分方程。数学从欧拉程序截然不同,他的方法不需要参考几何配置。欧拉立即采用拉格朗日的想法,在未来几年两人系统地修改使用新技术。

1766年拉格朗日邀请了普鲁士国王,腓特烈大帝柏林主任,成为数学学院。在接下来的二十年里他写了重要的回忆录的几乎所有主要的数学领域。1788年,他发表了他的著名Mecanique analytique了一篇论文,使用变分思想从一个统一的力学分析的观点。序言中拉格朗日写道:

你将发现没有数据的工作。我现在需要结构和几何的方法或机械推理,但只有代数操作,定期和统一的课程。那些欣赏分析,将愉快地看到力学成为一个新的分支,并将感激我延长了域。

腓特烈大帝的死后,成为一个拉格朗日前往巴黎pensionnaire科学院。的建立巴黎综合理工学院(法语:“理工学校”)1794年,他被要求交付数学专题。当时有一个担忧在欧洲数学微积分打下坚实的基础,和拉格朗日利用这个机会发展他的想法的代数这个主题的基础。标题下的讲座是在1797年出版理论des函数analytiques(“解析函数理论”),总结了论文的内容的标题,“包含的原则微分微积分脱离所有考虑无穷小,消失的限制,或公式用来减少到有限数量的代数分析。“拉格朗日第二个这方面的论文发表在1801年,一个工作,出现在1806年的修正和扩展形式。

提出了学科的范围和风格的一致性杰出的拉格朗日说教的从其他当代作品博览会的微积分。他开始与欧拉函数的概念作为分析变量和常量组成的表达式。他定义了“导函数”或导数f′(x)f(x)的系数我在泰勒的扩张f(x+我)。假设的一般可能性这样的扩张,他相当完整的微分理论和未遂积分学几何和力学,包括广泛的应用前景。拉格朗日课代表最先进的18世纪的发展分析概念的微积分。

开始男爵柯西在1820年代,后来数学家使用的概念限制建立了微积分在算术的基础上。欧拉和拉格朗日的代数的观点是拒绝。到达一个适当的历史的欣赏他们的工作,有必要反思分析在18世纪的意义。Viete以来,分析通常采用方程的数学方法,变量和常量。莱布尼茨的微积分的广泛发展和他的学校,分析了确定所有calculus-related科目。除了这一历史协会有一个更深层次的意义上讲,分析方法新数学的基础。一个解析方程隐含的存在关系,保持有效的大小不断变化的变量。分析算法和转换预设的本地和全球变化之间的对应关系,微积分的基本问题。它是这方面的分析着迷欧拉和拉格朗日和使他们看到的“真正的形而上学”微积分。