解析几何
发明分析几何在旁边微分而且积分学这是17世纪最重要的数学发展。起源于法国数学家Viète、费马和笛卡尔的工作，到本世纪中叶，它已经成为数学研究的一个主要项目。
当代数学中的两种倾向刺激了解析几何的兴起。首先是对曲线，部分原因是古典文学的恢复和拉丁翻译论文的阿波罗，阿基米德,冠毛，部分原因是曲线在诸如天文学、力学、光学和立体测量学。第二个是早一个世纪在意大利和德国代数家的工作中建立的代数实践的出现，以及它随后由Viete在本世纪末变成了强大的数学工具。
Viète是人文主义者的杰出代表运动在数学中集它本身就是恢复和发扬古希腊几何学家成就的工程。在他的在艺术分析中，它是一种语言(1591);“分析艺术导论”)，Viète，作为他重新发现分析方法的计划的一部分分析他提出了新的代数方法，使用变量、常数和方程，但他认为这是对古代方法的进步，这是他通过比较Pappus的第七卷中的几何分析得出的观点集合与算术分析Diophantus的速算比赛．帕普斯运用分析的方法来发现定理和构造问题;在分析中，通过对比合成一个人从他所追求的东西出发，直到他到达已知的东西为止。在解决算术题时，要写下方程在已知和未知的大小之间，然后求解未知的大小，其中一个是Viète推理，遵循“分析”程序。
Viète介绍了代数的概念变量，他用大写元音(一个，E，我，O，U)，以及的概念参数(一个未指明的常数数量)，以大写辅音表示(B，C，D，等等)。在他的方程组中，方程是5B一个2−2C一个+一个3.＝D会显示为B5一个四−CPlano 2 in一个+一个幼崽aequaturDsolido。
Viète保留了经典同质性原则，根据这一原则，所有的条款加在一起必须是相同的维．例如，在上面的方程中，每一项都有一个固体或立方体的维度;因此，常数C，表示平面，与一个形成一个具有固体尺寸的量
值得注意的是，在Viète的方案中，符号一个对象的部分表达式是通过对表示的幅度进行运算得到的吗一个．因此，对变量表示的量的运算反映在代数符号本身中。这创新数学史学家认为这是一个专业概念上的进步代数，促进代数方程符号解的研究，并导致了第一个有意识方程理论的创建
Viète去世后，分析艺术被他的同胞费马和笛卡尔应用于曲线的研究。这两个人都有一个共同的目标，那就是把新的代数技术应用到阿波洛尼乌斯保留在帕普斯的位点理论中集合．这些问题中最著名的是求曲线或由点与几条固定直线的距离满足给定关系所追踪的轨迹。
费马在他的论文中采用了Viète的符号《疯狂的平原和固体》(1636;平面和固体轨迹介绍)。这篇论文的标题指的是古代分类包括平面曲线(直线、圆)、实心曲线(椭圆、抛物线和双曲线)或线性曲线(由运动学或轨迹条件定义的曲线)。费马考虑了一个包含两个变量的方程。其中一个变量代表a行从一个给定的起始点水平测量，而另一个表示位于第一行末端的第二行，并以固定的角度倾斜于水平线。当第一个变量的大小变化时，第二个变量的值由方程决定，而第二条线的端点在方程中画出一条曲线空间．通过这种构造，费马得以阐明解析几何的基本原理:
当两个未知量最终相等时，就会有一个固定的轨迹，其中一个未知量的端点描述一条直线或曲线。
这一原理隐含着两类不同数学对象之间的对应关系:几何曲线和代数方程。费马在1636年的论文中指出，如果方程是二次方程，那么曲线就是a圆锥曲线-也就是说，椭圆，抛物线,或双曲线．他还证明了方程给出的曲线的确定可以通过将变量转换为标准形式的方程来简化。
笛卡尔的La Geometrie1637年作为附录出现在他著名的方法话语,论文这是他的哲学体系的基础。尽管这是他的理性方法的数学例子，La Geometrie是一篇独立于哲学可以理解的技术论文。这本书注定会成为数学史上最有影响力的书之一。
的开头部分La Geometrie，笛卡尔介绍了两个创新．为了取代Viète的符号，他开创了用字母结尾的字母表示变量的现代实践(x，y，z),参数按字母表开头的字母排列(一个，b，c)和用指数符号表示的幂x（x2，x3.,……)。在概念上更重要的是，他抛弃了Viète的原则同质性通过一个简单的构造，展示了如何用直线表示直线的乘法和除法;因此,所有大小(线、面积和体积)可以用同样的方式独立于它们的维度来表示。
笛卡尔的目标La Geometrie是为了实现用尺子和指南针等可接受的工具来构造几何问题的解。代数是在这个程序中使用的工具:
那么，如果我们希望解决任何问题，我们首先假设解决方案已经生效，并给所有似乎对构建它所必需的线条命名——给那些未知的和那些已知的。然后，不以任何方式区分已知的线和未知的线，我们必须以最自然的方式来揭示这些线之间的关系，直到我们发现有可能用两种方式来表示一个单一的量。这将构成一个方程，因为这两个表达式之一的项加起来等于另一个的项。
例如，在阿波罗尼乌斯的问题中，我们要找出与一组固定直线的距离满足给定关系的点的轨迹。人们利用这个关系推导出一个方程，然后，使用一个几何程序，包括可接受的构造工具，人们得到由方程的根所给出的曲线上的点。
笛卡尔描述了绘制“几何”曲线的比指南针更通用的仪器。他规定仪器的各个部分连接在一起，这样就可以知道各个部分运动的比例。这个限制排除了由运动过程产生的“机械”曲线。阿基米德的螺旋例如，当直线围绕原点均匀旋转时，在直线上移动的点就会生成。的比圆周与直径之比无法精确测定:
直线和曲线之间的比例是不知道的，我甚至认为人也无法发现，因此，基于这种比例得出的任何结论都不能被认为是严格和准确的。
笛卡尔的结论是，几何曲线或非力学曲线的方程f（x，y) = 0是a多项式两个变量的有限次。他希望数学仅限于考虑这种曲线。
笛卡尔对结构的重视反映了他的古典主义取向。他的保守主义在数学中，什么样的曲线是可以接受的，这使他成为一个传统的思想家。在他1650年去世时，他已经被一些事件所取代，因为研究从构造问题转移到寻找面积问题(当时称为正交问题)和切线问题。当时人们越来越感兴趣的几何物体，正是笛卡尔希望从数学中剔除的机械曲线。
继16世纪取得的重要成果之后Gerolamo Cardano和意大利代数家的理论代数方程陷入僵局。研究四次以上方程所需的思想发展缓慢。Viète、费马和笛卡尔的直接历史影响是为研究曲线提供了代数方法。一所充满活力的研究学校在莱顿周围弗兰斯·范·斯库滕，荷兰数学家，他在1649年编辑并出版了拉丁文译本La Geometrie．Van Schooten在1659-1661年出版了同一著作的第二册两卷译本，其中也包含了他的三个人的数学附录门徒，约翰·德·维特，约翰Hudde以及亨德里克·范·赫尔埃特。在莱顿集团数学家，也包括克里斯蒂安·惠更斯他在很大程度上推动了笛卡尔几何在20世纪中叶的迅速发展。