几何还有代数问题

在现在柏林的一块巴比伦石碑上，40和10的矩形对角线被解为40 + 10²/(2 × 40)这里使用了一个非常有效的近似规则(即平方根的和一个²+b²可以估计为一个+b²/ 2一个)，同样的规则也经常出现在后来的希腊几何作品中。这两个例子都说明了巴比伦人算术的方法几何．他们还表明，巴比伦人知道斜边和直角三角形的两条腿(现在通常被称为直角三角形)之间的关系勾股定理)比希腊人使用它早一千多年。

在巴比伦石碑上经常出现的一种问题是寻找基地和矩形的高度，它们的积和已经指定值．根据给定的信息，抄写员算出了差异，因为(b−h）²= (b+h）²−4bh．同样，如果给出乘积和差值，就可以求出和。并且，一旦已知和和和差，每边都可以被确定，对于2b= (b+h) + (b−h)及2h= (b+h)−(b−h)．这个程序相当于一般的解二次在一个未知的地方。然而，在一些地方，巴比伦人抄写员用一个未知数来解决二次问题，就像现在用二次公式一样。

虽然这些巴比伦的二次元程序经常被描述为最早的出现代数在美国，有重要的区别。抄写员缺乏代数符号;尽管他们肯定知道他们的解法是一般的，但他们总是根据特殊情况来提出它们，而不是通过一般公式和恒等式。因此，他们缺乏提出其解法程序的一般推导和证明的手段。然而，他们使用连续的程序而不是公式，不太可能减损对他们的努力的评价算法随着计算机的发展，类似的方法已经变得司空见惯。

如上所述，巴比伦的文士知道基地(b)，高度(h)和对角线(d)满足此关系b²+h²＝d²．如果随机选取其中两项的值，第三项通常是非理性的，但有可能找到三个项都是整数的情况:例如，3,4,5和5,12,13。(这种解决方案有时被称为毕达哥拉斯的三元组)。哥伦比亚大学收藏的一块平板上列出了15个这样的三元组(十进制的等价物显示在右边的括号中;表达式中的空白h，b,d将位值分隔为六进数字):

的列中的条目h必须从的值计算b而且d，因为它们并不出现在石碑上;但它们一定曾经存在于现在已经消失的部分。)的值在另一列中列出，行顺序变得清晰d²/h²(括号表示丢失或难以辨认的数字)，它们形成一个连续递减的序列:[1 59 0]15，[1 56 56]58 14 50 6 15，…，[1]23 13 46 40。相应地，在这个序列中，对角线和基底之间形成的角度不断增加，从刚刚超过45°增加到刚刚不到60°。序列的其他性质表明，抄写员知道寻找所有这样的数字三倍的一般程序，即任何整数p而且问, 2d/h＝p/问+问/p和2b/h＝p/问−问/p．(表中为隐含值p而且问结果是标准的常规数字集的倒数，如上文提及的九九乘法表。)学者们仍在争论细微差别这张表的结构和用途，但没有人质疑它所蕴含的高水平的专业知识。

数学天文学

由巴比伦人开发的六十进制方法具有比旧问题文本实际需要的更大的计算潜力。随着数学天文学的发展塞琉古帝国然而，有一段时间，它变得不可或缺。天文学家试图预测未来发生的重要现象，如月食和行星周期的关键点(合点、对分、静止点、最初和最后可见性)。他们设计了一种计算这些位置的技术(用经度和纬度表示，相对于太阳每年的视运动轨迹)，方法是在等差级数中依次添加适当的项。然后，结果被组织成一个表，列出了抄写员选择的最远的位置。(虽然这个方法是纯算术的，但人们可以用图形的方式来解释它:表中的值形成了一个线性的“之”形近似正弦变异)。然而，要找到必要的条件，需要进行几个世纪的观察参数(例如，周期，之间的角度范围最大而且最低数值之类的)，只有他们所使用的计算设备才能使天文学家的预测工作成为可能。

在相对较短的时间内(可能是一个世纪或更短的时间)，这一系统的要素进入了美国政府的手中希腊人．虽然希帕克斯(2世纪公元前)喜欢他的希腊前辈的几何方法，他从美索不达米亚人那里继承了参数，并采用了他们的六十进制计算风格。在中世纪，它通过希腊传给阿拉伯科学家，然后传到欧洲，在中世纪，它在数学天文学中仍然很突出文艺复兴时期的以及现代早期。直到今天仍然存在用分和秒来测量时间和角度。

古巴比伦数学的某些方面可能在更早的时候就传到了希腊人那里，可能在公元5世纪公元前这是希腊几何的形成时期。学者们注意到有许多相似之处。例如，希腊的“面积应用”技术(见下文希腊数学)对应于巴比伦的二次元方法(尽管是几何形式，而不是算术形式)。进一步，巴比伦的估计规则广场根在希腊几何计算中被广泛使用，在技术术语中也可能有一些共同的细微差别。虽然这样的时间和方式的细节传输由于缺乏明确的文献，西方数学似乎很大程度上源于希腊，但在很大程度上受惠于更古老的美索不达米亚人。