19世纪的数学

射影几何

的法国大革命引发了法国对教育的彻底反思，数学被赋予了突出的地位。的巴黎综合理工学院它成立于1794年，其雄心勃勃的任务是为所有专业的民事和军事工程共和国的学校。最顶尖的数学家口径参与;结果是这门学科得到了迅速而持续的发展。École的灵感来自于蒙日加斯帕德他坚信数学应该为国家的科学和技术需求服务。为此，他设计了一个教学大纲这提升了他自己画法几何学这在堡垒、炮台和机器的设计中很有用，在拿破仑对埃及历史遗址的调查中发挥了很大的作用。

在蒙格的描述几何中，三维物体是用它们的形状来描述的正交在水平面和垂直面上的投影，即物体的平面和仰角。蒙格的学生，Jean-Victor彭色列他在拿破仑从莫斯科撤退时被俘，在萨拉托夫的监狱里，他试图通过思考他学过的几何来振作精神。他摒弃了正交投影的限制，决定研究图形与阴影的共同特性。有几个这样的属性:直线投射出直线的阴影切到一个曲线投射一个与曲线阴影相切的阴影。但是有些性质却丢失了:人物的长度和角度与其影子的长度和角度没有关系。Poncelet认为那些保存下来的特性是值得研究的，并且，通过只考虑那些图形和它所有的阴影所共有的特性，Poncelet希望将真正的几何推理与代数几何．

1822年Poncelet出版了Traité des propriétés投影des数字(《论图形的投射性质》)。从他的观点来看圆锥曲线等于a圆，所以他的论文包含了对圆锥截面理论的统一处理。它还建立了几个新的结果。接受他的工作的几何学家分为两组:一组接受他的术语，另一组发现术语晦涩难懂，就按照代数几何的精神重新表述他的概念。在代数方面，它在德国由八月费迪南德Möbius他似乎是独立于庞斯莱而得出他的观点的朱利叶斯家禽脱毛机．他们展示了代数方程所定义的曲线射影几何是多么丰富，从而极大地促进了曲线的代数研究，与原始的曲线相当动力由笛卡尔提供。德国也生产合成尤其是投影几何雅各布·施泰纳(出生于瑞士，但在德国接受教育)和卡尔·格奥尔格·克里斯蒂安·冯·施陶德他强调可以通过仔细考虑人物的所有变化来理解人物。

在关于射影几何的争论中，出现了自19世纪以来发现的为数不多的综合思想之一欧几里得，即二元性．这与点一行与每一行行一个点，以这样的方式:(1)在一条直线上的三个点形成在一点上的三条线，相反(2)从一点(或线)出发，经过相关的线(点)，然后重复这个过程，就会回到原来的点(线)。使用对偶性的一种方法(由Poncelet提出)是选择一个任意的圆锥曲线，然后与一个点相关联P在圆锥曲线外的是两点的连接线R而且年代切线穿过P到圆锥曲线，触摸圆锥曲线。第二种方法用于圆锥曲线上或圆锥曲线内的点。的特点二元性令人兴奋的是，人们可以把它机械地应用到每一个证明在几何中，始终将“点”与“线”、“共线”与“共线”互换，从而得到新的结果。有时一个结果与原来的结果等价，有时与原来的结果相反，但在一次尝试中，定理的数量几乎翻了一番。

使微积分严格的

蒙格的教育理念遭到了约瑟夫-路易·拉格朗日的反对，拉格朗日倾向于更加传统和理论化的高级微积分和理性的饮食力学微积分在数学研究中的应用运动固体和液体)。最终拉格朗日赢了，展现在世人面前的数学愿景是一个自治这门学科由于其巨大的普遍性也适用于广泛的现象，这种观点一直延续到今天。

在19世纪20年代奥古斯丁-路易，柯西男爵他在École理工学院讲授微积分基础。自从微积分发明以来，人们普遍认为它能给出正确的答案，但没有人能对为什么会这样给出令人满意的解释。柯西拒绝了拉格朗日的代数方法，并证明了拉格朗日的基本假设函数有一个幂级数膨胀实际上是错误的。牛顿提出了一个几何的或者动态微积分的基础，但是当微积分应用于力学或几何问题时，这有引入恶性循环的风险。柯西提出将微积分建立在对任意靠近的两点或数的复杂而困难的解释之上。尽管他的学生不喜欢这种新方法，而且柯西被要求教授学生们能够真正理解和使用的材料，但他的方法逐渐被建立和完善，形成了现代严谨微积分的核心，这门学科现在被称为数学分析．

传统上，微积分一直关注的是两个过程分化而且集成和互惠他们之间存在的关系。柯西通过强调概念的重要性提供了一个新的基础连续性它比这两种都更基本。他证明了，一旦连续函数的概念限制定义的概念可微函数和可积函数可以用它们来定义。不幸的是，这两个概念都不容易掌握，它们给数学带来的急需的精确程度也被证明很难理解。粗略地说，函数是连续在其定义域的某一点上，如果在指定值周围输入的微小变化只会在输出中产生微小变化。

因此，熟悉的图的抛物线y＝x²在点周围是连续的吗x= 0;作为x变化很小，所以必然如此y．另一方面，取0值的函数的图像x是负的还是零的，而值为1的时候x是正的，在点上有一个不连续的图形x= 0，它确实是不连续的根据定义．如果x从0变化任何一个小的正数，函数的值就会跳跃一个固定的量1，这不是一个任意小的量。

柯西说一个函数f（x)趋于有限价值1x倾向于价值一个无论何时值的差值f（x)−f（一个)变得任意小x−一个它本身变得任意小。然后他展示了如果f（x)在一个，函数的极限值为x倾向于一个确实是f（一个)．这个定义的关键特征是它定义了a的意义变量指完全不考虑运动概念而倾向于某物的量。

柯西接着说一个函数f（x)在该点处可微一个如果像x倾向于一个(它永远不允许达到)，商的值[f（x)−f（一个) / (x−一个)趋向于一个极限值，称为导数函数的f（x)一个．定义积分函数的f（x)一个而且b柯西回到了原始的思想积分随着测量函数图像下的面积。他用矩形近似地表示了这个面积，并说，如果矩形的面积和随着它们的数量无限增加而趋向于一个极限，并且如果这个极限值无论矩形是多少都相同，那么这个函数是可积的。它的积分是公共的极限值。在他定义了独立的积分之后微分学柯西必须证明的过程集成而且区分是互逆的。他这样做了，第一次为他那个时代的所有基本微积分打下了严格的基础。