20世纪和21世纪的数学
康托尔
所有这些争论都是通过这位德国数学家的开创性工作汇聚在一起的Georg康托尔关于a的概念集．康托开始这方面的研究是因为他对黎曼的三角级数理论感兴趣，但是所有实数的集合的特征问题越来越占据他的注意力。他开始发现集合的一些意想不到的性质。例如，他可以证明所有的集合代数的数字，更重要的是所有的集合有理数,是可数名词从某种意义上说，有一个一一对应在整数和这些集合中的每个成员之间，通过它对于代数数(或有理数)集合中的任何成员，无论有多大，总是有一个唯一的整数它可能与。但更令人惊讶的是，他还能证明所有的集合实数不可数。尽管所有的集合整数所有实数的集合都是无限，所有实数的集合是一个严格较大的集合∞．这与当时流行的正统理论完全相反，后者宣称无限只能意味着“大于任何有限的量”。
在这里，数字的概念同时被扩展和削弱。这个概念得到了扩展，因为现在可以对整数集太小而无法计数和排序测量，它是破坏了因为即使是整数也不再是基本的未定义对象。康托自己给出了一种将实数定义为无限有理数集合的方法。有理数很容易用整数来定义，但现在整数可以用集合来定义。弗雷格给出了一种方法算术算术(1884);算术基础)．如果两个集合包含相同的内容，他就认为它们是相同的元素．所以在他看来只有一个空集(今天用Ø表示)，即没有成员的集合。第二个集合可以定义为只有一个元素，方法是让该元素为空集合本身(用{Ø}表示)，另一个集合有两个元素，方法是让它们为刚才定义的两个集合(即{Ø， {Ø}})，等等。这样定义了整数原始的“集合”和“元素”的概念，弗雷格同意康托的观点，没有逻辑上的理由停止，他继续以康托的相同方式定义无限集。事实上，弗雷格比康托更清楚什么是集合及其元素。
弗雷格的建议是把所有数学简化为逻辑．他希望每个数学术语都能被精确地定义，并根据公认的逻辑规则进行操作推理．这就是“logicist1902年，这位英国数学家和哲学家给了他意想不到的打击伯特兰·罗素他指出了集合这一幼稚概念的意想不到的复杂性。似乎什么都没有排除一些集合是自身的元素，而另一些不是，但是，罗素问，“那么所有不是自身元素的集合的集合是什么呢?”如果它是自身的元素，那么它就不是(自身的元素)，但是，如果它不是，那么它就是。罗素发现了集合论中的一个基本问题悖论．要么认为集合是已定义对象的任意集合的观点是有缺陷的，要么认为一个人可以合法地形成给定类型的所有集合的集合的观点是不正确的。弗雷格的程序再也没有从这次打击中恢复过来，而罗素用逻辑来定义数学的类似方法，是他和阿尔弗雷德·诺斯·怀特海在他们的数学原理(1910-13)从未在数学家中找到持久的吸引力。
人们对希尔伯特和他的学派开始提出的观点产生了更大的兴趣。在他们看来，曾经有用的东西几何对所有数学都适用。他们并没有试图为事物下定义，这样问题就不会出现，相反，他们认为，有可能摒弃定义，把所有的数学都置于一个统一的体系中公理结构使用的思想集理论．事实上，他们希望逻辑研究能被这种精神所接受，从而使逻辑成为数学的一个分支，这与弗雷格的意图相反。在这个方向上取得了相当大的进展，出现了一个强大的数学逻辑学学派(特别是在波兰)和一个数学逻辑学学派公理化理论避免罗素的集合悖论还有其他已经出现的。
在20世纪20年代，希尔伯特提出了建立数学有效性的最详细的建议。根据他的证明理论，所有的东西都要放进一个公理形式，允许规则推理只有从这有限的公理和推理规则中所能得出的结论才能被承认。他提出一个令人满意的制度应该是一致的，完整的,可决定的．希尔伯特所说的“一致”是指不可能做到推导出否定:陈述和它的否定;所谓“完整”，指的是每一个适当的书面陈述都应该是这样的，它或它的否定都可以从公理中推导出来;所谓"可决定的"应该是算法这决定了任何给定的陈述，它或它的否定是可证明的。这样的系统确实存在，例如一阶谓词演算但没有一种能让数学家做出有趣的数学。
然而，希尔伯特的计划并没有持续多久。1931年奥地利出生的美国数学家和逻辑学家库尔特·哥德尔表明不存在希尔伯特类型的系统，其中的整数可以被定义，并且是一致和完整的。英国数学家Gödel阿兰·图灵和美国逻辑学家西德尼教堂后来证明，可判定性也是不可实现的。也许矛盾的是，这个戏剧性的发现使数学家们远离了整个争论。相反，数学家们可能对没有办法自动决定一个命题的真实性这一观点并不太不满，他们学会了接受这样的观点:甚至数学也不是建立在严格的基础上的。自那以后，进展一直在其他方向。一个替代公理集合论的一个系统是后来由匈牙利裔美国数学家提出的约翰·冯·诺依曼，他希望这将有助于解决当代的问题量子力学．人们对既在数学上有趣又独立于所使用的公理系统的陈述也重新产生了兴趣。第一位是美国数学家保罗•科恩的惊人决议连续统假设这是康托的猜想，即所有有理数子集的集合与所有实数的集合大小相同。这是独立于通常情况的公理对于集合论，所以有一些集合论(以及数学的类型)，在其中它是真的，而在另一些理论中它是假的。
数学物理
与此同时，数学家们试图把自己的房子整理好，他们也对当代物理学的工作重新产生了兴趣。为重燃他们的兴趣做出最大努力的人是Poincaré。Poincaré显示了这一点动态系统描述得很简单微分尽管如此，像太阳系这样的方程仍然可以产生最随机的，混乱的行为．他继续探索数学家可以描述这种混沌行为的方法，因此开创了关于概率陈述的方法动态我们可以找到系统来描述智力所不能描述的事物。
Poincaré后来转向电动力学问题。经过多年的研究，这位荷兰物理学家亨德里克·安东·洛伦兹导致了长度和时间的明显依赖运动， Poincaré很高兴地注意到转换洛伦兹提出的一种将一个观察者的数据转换成另一个观察者的数据的方法集团．这吸引了Poincaré，并加强了他的信念，没有任何意义的概念绝对运动;一切运动都是相对的。Poincaré于是给出了洛伦兹思想的一个优雅的数学公式，这使得洛伦兹的思想适合于一个支配电子运动的理论麦克斯韦方程．Poincaré，然而，没有否认的现实醚或者宣布光速对于所有的观察者来说都是一样的，所以第一个关于电子运动的真正相对论理论的功劳在于爱因斯坦和他的特殊的理论的相对论(1905)。
爱因斯坦的特殊理论之所以被称为特殊理论，是因为它只研究匀速相对运动的特殊情况。更重要的加速运动和在引力场中运动的例子，要再花十年的时间，需要更大量的数学知识。爱因斯坦改变了他一直以来对纯数学价值的估计蔑视直到他发现，他被引向的许多问题已经用数学公式表述出来，并且已经解决了。最令他震惊的是黎曼从几何研究中推导出的理论。
到1915年，一些数学家开始有兴趣将他们的发现应用于物理学。这方面的领导机构是Göttingen大学在那里希尔伯特未能成功地试图产生一个广义相对论在爱因斯坦之前，许多即将到来的革命的领导者都在那里工作量子力学我们要学习。值得一提的是，他们那一代的许多顶尖数学家也在那里去世了约翰·冯·诺依曼而且赫尔曼·韦尔，和希尔伯特一起学习。1904年希尔伯特开始研究积分方程．这出现在许多问题中，其中未知本身就是一个问题函数一些变量特别是在物理学中那些用。来表达的部分极值原理(例如最小作用原理)．极值原理通常产生关于积分包含所寻找的函数，因此得名积分方程．希尔伯特的贡献在于，他将当代许多不同流派的研究汇集在一起，并展示了如果以某种无限维度的对象的论证形式，它们是如何被阐明的向量空间。
扩展到无限维并不是一个简单的任务，但它带来了使用几何图形的机会直觉运用几何概念分析积分方程问题。希尔伯特让他的学生为他的作品提供最好的抽象背景，因此诞生了一个概念希尔伯特空间．粗略地说，这是一个无限维空间向量空间其中向量的长度和它们之间的夹角是有意义的;有用的例子包括序列的某些空间和函数的某些空间。定义在这些空间上的运算符也很有趣;他们的研究是…领域的一部分功能分析．
在20世纪20年代，数学家和物理学家正在寻找方法来表述新的量子在力学方面，冯·诺依曼建议用函数分析的语言来写这门学科。量子力学世界的状态和可观测性，与其神秘有关波包有时像粒子，有时像波，这取决于它们是如何被观察的，它们很好地融入了希尔伯特空间理论。函数分析从那时起就随着粒子物理．